שינויים
ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:
\subsubsection{שיטה ראשונה - חישוב ישיר}
נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר
$spec\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
\subsubsection{שיטה שנייה - לפי המשפט}
נשים לב כי $\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\lambda-1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-1
\end{matrix} \right )$.
לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$
אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
\subsection{דוגמה 2 - מטריצה אלכסונית כללית}
נסמן $A=D=\left (\begin{matrix}\alpha _{1} alpha_1 & & 0 & \\ & \ddots & & \\0 & & \alpha _{n} & \\alpha_n\end{matrix}\right )$
נרצה לדעת מהו $spec\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $\lambda I-D=\left ( \begin{pmatrixmatrix}
\lambda-\alpha_1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-\alpha_n \end{pmatrixmatrix}\right )$. הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$. קיבלנו ש-$spec\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>
משתמש אלמוני
