שינויים
\textbfbegin{למה:lem}
\begin{enumerate}
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$, ויהי $0\neq v\in K_\lambda$. אזי $$K_\lambda\ni\left(T-\lambda I\right)\left(v\right)\neq 0$.$
\item יהיו $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ שני ערכים עצמיים שונים של $T$. אזי $K_\lambda\cap K_\mu=\left\{0\right\}$.
\end{enumerate}
\textitend{הוכחה:lem} \begin{proof}
\begin{enumerate}
נניח בשלילה כי $\left(T-\mu I\right)\left(v\right)=0$, לכן $T\left(v\right)=\mu v$. ניתן לבדוק כי אם $f\left(x\right)\in\mathbb{F}\left[x\right]$, אזי $f\left(T\right)\left(v\right)=f\left(\mu\right)v$.
נבחר $f\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. אם כן, נציב את $T$ ונקבל $f\left(T\right)=\left(T-\lambda I\right)^n$. מכאן קיבלנו $$\underbrace{\left(T-\lambda I \right )^n\left(v \right )}_{=0}=\underbrace{\left(\mu-\lambda\right)^nv}_{\neq 0}$$
בסתירה, כדרוש.
נניח בשלילה ש-$v\neq 0$, ונתבונן בווקטורים הבאים:
$$\underbrace{v}_{\in K_\lambda,\neq 0},
\underbrace{\left(T-\mu I\right )\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0},
\underbrace{\left(T-\mu I \right )^2\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0},
\dots,
\underbrace{\left(T-\mu I \right )^n\left(v \right )}_{\in K_\lambda,\neq 0}$$
בסתירה להנחה שלפיה $v\in K_\mu$.
\end{enumerate}
\end{proof}
משתמש אלמוני
