שינויים

\underlinebegin{משפט:thm} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי

יהיו הטורים $\sum_{n=1. }^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי\begin{enumerate}\item אם $a_n=O(b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

2. \item אם $a_n=O^* (b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $\end{enumerate}

\underlineend{הוכחה:thm} קודם כל נשים לב שאם 1 מתקיים ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז גם $b_n=O^* (a_n) $ וזה אומר שגם $a_n=O(b_n) $ וגם $b_n=O(a_n) $. אם נשתמש עכשיו במשפט 1, משפט 2 מגיע ישירות. כעת נוכיח את 1:

\begin{remark}מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש-$$a_n=O^*(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^*(a_n) $$ומכל אחד מהם נובע ש-$$a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n) $$מכאן שאם משפט 1 נכון ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז משפט 2 מתקבל ישירות\exists_end{n_0remark}  \forall_begin{proof} $$\exists n_0 \forall n>n_0} : a_n\leq M\cdot b_n $ $וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $$\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ $והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס. $\\$end{proof} \underlinebegin{מסקנה: משפט cor}[מבחן ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת}יותר]

1. \item אם $L=\neq 0 $ אז $הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס\sum_end{n=1enumerate}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $

2. אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנסend{cor}

\underlinebegin{הוכחהproof}\begin{enumerate}\item אם $L=0 $ אז$$\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<1 $$ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.

1. \item אם $L=\neq 0 $ אז $$\exists_{exists n_0} \forall_{forall n>n_0} :\frac{a_n}{b_n}<1 2L $ ומכאן ש- $ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) , n$ . מצד שני כיוון ש- $L\to neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\infty frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם וסיימנוולקבל את הדרוש.\begin{enumerate}\end{proof}

2. אם $L\neq 0 $ אז $\exists_begin{n_0example} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<2L $ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.$\\$דוגמה: נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $ $ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.\end{example}