שינויים

\textbfbegin{למה:lem}

יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם $$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$, $כאשר $T^n\left(v\right)=0$.

\textitend{הוכחה:lem}

$\boxedbegin{\Leftarrowproof}$

נניח $E=\left \begin{ v_1,\dots,v_n \right \description}$ בסיס שעבורו $\left[T\right]_B=J_n\left(0\right)$. אזי

$\leftitem[T $\right ]_E=boxed{\left(\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E,\dots,\left[T\left(v_n \right ) \right ]_E \right )=\left(0,e_1,\dots,e_{n-1Leftarrow} \right )$]

 $$\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T\left(v_1 \right )=0$$ $$\left[T\left(v_2 \right ) \right ]_E=e_1$$$$\vdots$$ $$\left[T\left(v_n \right ) \right ]=e_{n-1}$$

 $$\left[T\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-1}=\left[v_{n-1} \right ]_E\Rightarrow T\left(v \right )=v_{n-1}$$ $$\left[T^2\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-2}=\left[v_{n-2} \right ]_E\Rightarrow T^2\left(v \right )=v_{n-2}$$$$\vdots$$ $$\left[T^{n-1}\left(v \right ) \right ]_E=e_1=\left[v_1 \right ]_E\Rightarrow T^{n-1}\left(v \right )=v_1$$ $$\left[T^n\left(v \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T^n\left(v \right )=0$$

\item[$\boxed{\Rightarrow}$]