שינויים
הוכחנו שצורת ז'ורדן של אופרטור נילפוטנטי קיימת. כעת, נוכיח כי היא יחידה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים). ניעזר לכך בלמה הבאה:
\textbf{משפט:} משפט ז'ורדן הנילפוטנטי - יחידות
יהי $T:V\right rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$, ויהי $B$ בסיס מז'רדן ל-$T$. אזי מספר המסלולים מכל אורך ב-$B$ מוגדר באופן יחיד על ידי $T$ (ולכן, מספר הבלוקים מכל גודל ב-$\left [ T \right ]_B$ מוגדר ביחידות).
\textit{הוכחה:}
נסמן $E_1,\dots,E_r$ המסלולים ב-$B$. נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $V_i=\operatorname{span}\left(E_i\right)$. נתבונן בסכום הישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$. נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $T_i=T|_{V_i}$.
לכן, לפי למה קודמת, $\ker T=\ker T_1\oplus\cdots\oplus\ker T_r$, וכן $\operatorname{im}T=\operatorname{im}T_1\oplus\cdots\oplus\operatorname{im}T_r$.
לכן, לפי הלמה על חיתוך סכום ישר, נקבל כי
$\ker T\cap\operatorname{im}T^j=\left(\ker T_1\cap\operatorname{im}T_1^j \right )\oplus\cdots\oplus\left(\ker T_r\cap\operatorname{im}T_r^j \right )$
לפי הלמה הקודמת, לכל $s=1,\dots,r$, $\dim\left(\ker T_s\cap\operatorname{im}T_s^j \right )=\left\{\begin{matrix}
1,\quad j<\ell\\
0,\quad j\ge\ell
\end{matrix}\right.$, כאשר $\ell$ הוא אורך המסלול.
אם כן, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ הוא $\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$, שזה הסכום על אורך כל המסלולים שסדרם גדול מ-$j$, כדרוש.
\item לכן, מספר המסלולים מאורך $j$ בדיוק שווה ל:
$\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^{j-1} \right )-\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$
\end{enumerate}
משתמש אלמוני
