שינויים
הגיע הזמן לעבור להוכחת היחידות של צורת ז'ורדן.
\textbfbegin{משפט:thm} [משפט ז'ורדן הנילפוטנטי - יחידות]
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$, ויהי $B$ בסיס מז'רדן ל-$T$. אזי מספר המסלולים מכל אורך ב-$B$ מוגדר באופן יחיד על ידי $T$ (ולכן, מספר הבלוקים מכל גודל ב-$\left [ T \right ]_B$ מוגדר ביחידות).
\textitend{הוכחה:thm} \begin{proof}
נוכיח כי:
\item המסלול הארוך ביותר ב-$B$ הוא מסדר $k$.
\item לכל $j=1,\dots,k$, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ שווה ל-$\dim\left(\ker T\cap\operatornameend{imenumerate}T_0^j \right )$.
\item נסמן $E_1,\ker Tdots,E_r$ המסלולים ב-$B$. נסמן לכל $i=1,\capdots,r$, $V_i=\operatorname{imspan}T^j=\left(\ker T_1\cap\operatorname{im}T_1^j E_i\right )$. נתבונן בסכום הישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים $$V=V_1\oplus\cdots\oplusV_r$$נסמן לכל $i=1,\left(\ker T_r\cap\operatornamedots,r$, $T_i=T|_{imV_i}T_r^j \right )$.
לכן, לפי למה קודמת,
$$\ker T=\ker T_1\oplus\cdots\oplus\ker T_r$$
וכן
$$\operatorname{im}T=\operatorname{im}T_1\oplus\cdots\oplus\operatorname{im}T_r$$
לכן, לפי הלמה על חיתוך סכום ישר, נקבל כי
$$\ker T\cap\operatorname{im}T^j=\left(\ker T_1\cap\operatorname{im}T_1^j \right )\oplus\cdots\oplus\left(\ker T_r\cap\operatorname{im}T_r^j \right )$$
לפי הלמה הקודמת, לכל $s=1,\dots,r$, $\dim\left(\ker T_s\cap\operatorname{im}T_s^j \right )=\left\{\begin{matrix}
1,\quad j<\ell\\
אם כן, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ הוא $\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$, שזה הסכום על אורך כל המסלולים שסדרם גדול מ-$j$, כדרוש.
\item לכן, מספר המסלולים מאורך $j$ בדיוק שווה ל: $\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^{j-1} \right )-\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$מסקנה ישירה משני הסעיפים הקודמים.
\end{enumerate}
\end{proof}
משתמש אלמוני
