שינויים
יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $..."
\begin{definition}
מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $
\end{definition}
דוגמה:
$f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט.
\begin{theorem}
$f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת).
\end{theorem}
\begin{proof}
ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $
\end{proof}
מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $
\end{definition}
דוגמה:
$f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט.
\begin{theorem}
$f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת).
\end{theorem}
\begin{proof}
ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $
\end{proof}
