שינויים
נניח איש אחד נסע ממקום א' למקום ב' ונגדיר פונקציה $f(t) $ שעבור זמן $t$ נותנת את המיקום של האיש. המהירות הממוצעת שלו בין $t=a $ ל- $t=b $ מוגדרת להיות כמה התקדמם בזמן הזה חלקי כמה זמן עבר, כלומר $v=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . אבל זה נותן לנו את המהירות הממוצעת בקטע יחסית ארוך, מה קורה אם נרצה לדעת את המהירות בזמן ספציפי $t_0 $ ? \\נצטרך למצוא את המהירות הממוצעת בקטעים הולכים ומתהדקים סביב $t_0 $ (בהתחלה נבדוק את המהירות הממוצעת בין דקה לפני לדקה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין שנייה לפני לשנייה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין חצי שנייה לפני לחצי שנייה אחרי...) והגבול שלהם מוגדר להיות המהירות בזמן $t_0 $ . מאיך שניסחנו את זה אפשר להבין ש- $$v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0-\Delta t)}{(t_0+\Delta t)-(t_0-\Delta t)} $ או $באופן שקול לחלוטין אפשר לבדוק את המהירות הממוצעת בקטעים שמתחילים ב- $t_0 $ ומסתיימים ב- $t_0+\Delta t $ ולהשאיף את $\Delta t $ ל-$0 $ ולקבל הגדרה שקולה: $$v(t_0)= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0)}{\Delta t} = \lim_{t\to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} $ , $כל אלה נתנו הגדרות שקולות למושג מהירות נקודתית שזה כמו קצב השינוי במיקום ליחידת זמן מאוד קטנה. באופן כללי, רוב הפעמים אנחנו נתקל בפונקציות שההשתנות שלהן אינן קבועה, ולכן נוח להגדיר את המושג שמתאר את השינוי ליחידת "זמן", הנגזרת.
\begin{definition}
נניח $f$ מוגדרת בסביבת $x_0 $ וקיים הגבול $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $ אז הגבול הזה מוגדר להיות הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0 $ ומסמנים $f'(x_0) $ או $\frac{df}{dx} (x_0) $ .
\end{definition}
נגזרת של ישר $f(x)=mx+n $ בנקודה $a$ תהיה $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} \frac{mx+n-ma-n}{x-a} = m $ $ללא תלות בנקודה $a$!$\\$end{example}דוגמה:\begin{example}
$$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\sin\frac{\Delta x}{2} \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) }{\Delta x}=$$
$$\{\Delta x'=\frac{\Delta x}{2}\} = \lim_{\Delta x'\to 0} \frac{2\sin \Delta x' \cos (x+\Delta x')}{2\Delta x'} =\lim_{\Delta x'\to 0} 1\cdot \cos (x+\Delta x') = \cos (x)$$
$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}= e^x \cdot 1 = e^x $$
\end{example} דיון: נשים לב שמתקיים הדבר הבא:$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-k = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - k (x-x_0)}{x-x_0} = 0$$נקבל אז ש- $f(x)-f(x_0)-k(x-x_0) = o(x-x_0)_{x\to x_0} $ ומכאן$$f(x)=f(x_0)+k (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $$ .אם נחליף את המשתנים: $t=x-x_0 $ נקבל ש- $f(x_0+t)=f(x_0)+kt+o(t)_{t\to 0} $ .\\
\begin{definition}
\end{definition}
\begin{definition}
תהי $f$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $x_0 $ אז הפונקציה $$p(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) $ $נקראת הישר המשיק לפונקציה $f$ בנקודה $x_0 $ (בעצם אמרנו קודם שהשינוי ב- $f(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x$ מתנהג קרוב ל-$x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ אז "הזנחנו" את השגיאה ונשארנו עם כמו פונקציה לינארית והמשיק זה אותו ישר שמתנהג בערך כמו הפונקציה בסביבה קרובה של מתאים שעובר דרך $f(x_0 ) $)
\end{definition}