שינויים
\textbfbegin{למה:lem}
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי:
$$\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$$
\textitend{הוכחה:lem} \begin{proof}
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר.
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית.
\item[$\boxed{\subseteq}$]
יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$.
לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$.
$z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$
\item[$\boxed{\supseteq}$]
יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן
בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$.
\end{proof}
משתמש אלמוני
