שינויים
\item לכל $u,v\in\mathbb{F}^n$, מתקיים $\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle$.
\item אם $A$ נורמלית, אזי $\left \| Av \right \|=\left \| A^*v \right \|$ לכל $u,v\in\mathbb{F}^n$.
\item אם $A$ אוניטרית, אזי $\left \| Av \right \|=\left \| v \right \|$ לכל $v\in\mathbb{F}^n$.
$$\left \langle Au,v \right \rangle=\left \langle T\left(u \right ),v \right \rangle=\left \langle u,T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,A^*v \right \rangle$$
\item אם $A$ נורמלית, אזי גם $T$ נורמלית, ז"א $T^*T=TT^*$, ולכןלכל $v\in\mathbb{F}^n$:
$$\left \| Av \right \|^2=\left \| T\left (v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,TT^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(v \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \| T^*\left(v\right) \right \|^2=\left \| A^*v \right \|^2$$
ולכן $\left \| Av \right \|=\left \| A^*v \right \|$.
\item אם $A$ אוניטרית, אזי גם $T$ אוניטרית, ז"א $T^*T=I$, ולכןלכל $v\in\mathbb{F}^n$:
$$\left \| Av \right \|^2=\left \| T\left (v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,I\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2$$
ולכן $\left \| Av \right \|=\left \| v \right \|$.
משתמש אלמוני
