שינויים
\begin{thm}
\begin{enumerate}
\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )
\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-$0 $ אם הוא $0$.
\item
$\lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 $. \\גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
$3.1$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $
$3.2$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )
\begin{example}
$$x_n=n, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1$$
$$x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2$$
$$x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty$$
$$x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty$$
$$x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist} $$
\item אם $x_n=n\to \infty , y_n=1-n\to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$
$$x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1$$$$x_n=n^2 , y_n=-\frac{2}{n ^2} \Rightarrow x_n y_n = 2\to 2$$ $$ x_n=n ^2 , y_n=\frac{-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty$$$$x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2 } \Rightarrow x_n y_n = \frac{1}{n}\to 0$$ $$ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n }{n} \Rightarrow x_n y_n = (- 1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}$$
\end{example}
\begin{example}כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג item אם שתי הסדרות שואפות ל-$0$ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים): $x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $\end{exampleenumerate}
\begin{example}
\end{example}
\underline{תרגיל:} מהו $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?
\underline{פתרון:}נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס)$$ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$
