שינויים
/* פתרון */
===תכונות ===
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים. # בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>
#<math>A\subseteq span(A)</math>
#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(WA)\subseteq span(B)</math># בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=Wspan\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math> ## באופן כללי מתקיים כי <math>span(רק אם A)+span(B)=span(A\cup B)</math>W. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ת"מ!ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)#</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה : אם <math>A\subseteq span(B)</math> אזי אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ====יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math># <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math>
===תרגילים===
\end{array}\right)\}</math>
=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאהבמשוואה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
</math>
הגדרות:
יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.
'''הערה/משפט''' תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"ל אמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה).
===דוגמאות ===
אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.
====דוגמא 6====
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל
===משפט===
'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.
====תרגיל ====
תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי
<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.
====תרגיל ====
יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה)
אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====
יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).
יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).
בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.
== הצגות שונות של תתי מרחבים בסיס ומימד==בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו '''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב ) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אםנראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג # <math>B</math> בת"ל # <math>B</math> פורשת את אותו תת המרחב הוקטורי., כלומר <math>span(B)=V</math>
'''תרגילהגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית. '''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).
===דוגמאות ===
בסיסים סטנדרטים:
בהכללה
הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה")
בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\beginmathbb{pmatrixF}0 & 2 & 1 & | & _{n}[x ]</math> הוא <math>B=\\1 & 1 & {1 & | & y \\1 & 3 & ,x,x^{2 & | & z },\cdots x^n \1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}</math>
5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}emptyset </math>
=== תכונה חשובה של בסיס ===
אזי כל <math>v\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math>'''בצורה יחידה'''.
הוכחה
יהי <math>v\begin{pmatrix}in V</math> 1 & 0 & -#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math># יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\fracsum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{2i=1} & ^n\fracalpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}{2} & | & 0 ^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0 & 1 & -</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\frac{1}{2} & forall i (\alpha_i-\frac{1}{2} & | & beta_i) = 0 </math> ולכן <math>\forall i\; \end{pmatrix}alpha_i=\beta_i</math>כנדרש.
===תרגיל 8.3 קריטריונים שקולים לבסיס ===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים בהגדרה של Vתלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!
טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.
כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.
בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל. אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל. לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית. '''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא # כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס (חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?) ===תרגיל 8===מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}= 0</math> פתרון: נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרונות הן <math>\{\begin{pmatrix} s \\-t\\s\\t\end{pmatrix} : t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\begin{pmatrix} 1 \\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0\\1\end{pmatrix} \} </math> אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות === תרגיל ===מצא בסיס לתת המרחב <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\} </math>של<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> פתרון: כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית.5נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}=span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)\}</math> וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל ===משפט השלישי חינם===יהא יהיה <math>V </math> מ"ו ממימד ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה. אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:# <math>S</math> בת"ל#<math>spanS=V</math>#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>. ==== תרגיל ==== תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math>לבסיס פתרון:ראינו כבר כי <math>span(S)= \{\left(\begin{array}{cc}b+2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = span\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math> מכאן אפשר לראות בקלות כי# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים). כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס === תרגיל חשוב ===יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>). הוכח: <math>W=V</math> פתרון: נבחר <math>B=\{w_{1}, ויהיו U\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W תתי מרחבים </math>. בפרט מתקיים כי# <math>span(B)=W</math># <math>B</math> בת"ל. עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math> '''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים''' ====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת==== נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש dimU<math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=nוניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>. כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס. על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 ו-וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W אינו מוכל בUהוא n. הוכח התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים. ===תרגיל ===יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום. בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math> לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math> ==== פתרון ==== א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>. מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+Ua_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>. רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1. לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>. ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>. === תרגיל ===תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ \left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}a_{0}-3a_{1}-5a_{2}=a_{3}\\4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>. האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!) === תרגיל ===יהא <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{2}</math> תתי מרחבים. הוכיחו/הפירכו: כל בסיס של <math>W_{2}</math> ניתן לצמצום לבסיס של <math>W_{1}</math>. ===תרגיל 7.17===יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים: (1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math> (2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
====הוכחה====
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>dim(U+W)A=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U{u\cap W)<dimW }</math> ולכן ומכייון שבהכרח <math>dimW-dim(U\cap W)u \geq 1neq 0</math>. ביחד מקבלים <math>dimנקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (U+Wחיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.