מכאן,
<math>\lim_{x\to 0+}f(x)ln(x)=\lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{x}\cdot \lim_{x\to 0+}xln(x)= L\cdot 0=0 </math>. השוויון <math>\lim_{x\to 0+}xln(x)= 0</math> הוא לפי לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 09:13, 11 בפברואר 2016 (UTC)
== השלמה לשיעור חזרה ==
אני משלים כאן את השאלה שלא הצלחנו לסיים לפתור בשיעור חזרה.
השאלה הייתה האם הפונקציה
<math>x^4 \sin (\frac{1}{x^2})</math>
רציפה במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>
(אחרי שמתקנים את אי הרציפות הסליקרה ב <math>0</math>.)
הפתרון שעשינו היה כמעט מלא והיה חסר רק שלב אחד בסוף.
זיהינו שזה בעצם
<math>x^2 \frac{\sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}</math> ולפי זה ניחשנו שאין רציפות במ"ש. לצורך הפרכה השתמשנו באותן סדרות שמפריכות את <math>x^2</math>
נגדיר
<math>a_n=\sqrt{n+1},\quad b_n=\sqrt{n}</math>
כידוע <math>a_n-b_n</math> מתכנס ל <math>0</math> (כפל בצמוד) עכשיו נראה ש <math>f(a_n)-f(b_n)</math> לא מתכנס ל <math>0</math>.
נציב ונחשב
<math>(n+1)\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-(n)\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}</math>
<math>=n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}})+\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}</math>
עכשיו נשים לב שהביטוי הימני מתכנס ל <math>1</math> והביטוי השמאלי חיובי (את זה נוכיח עוד מעט) ולכן אין סיכוי שהנ"ל יתכנס ל <math>0</math>.
עכשיו נשאר להוכיח ש
<math>n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}})</math>
חיובי. כדי להוכיח את זה מספיק לוודא ש
<math>\frac{\sinx}{x}</math>
יורדת מימין ל <math>0</math>.
הנגזרת של הנ"ל היא
<math>\frac{\cos(x)x-\sin(x)}{x^2}</math>
צריך לוודא שהנגזרת שלילית (עבור <math>x</math> -ים גדולים מ0) כלומר ש
<math>\cos(x)x < \sin x</math>
כלומר
<math>x < \tan(x)</math>
את זה קל לוודא כי יש שוויון עבור <math>x=0</math>
והנגזרות הן
<math>1<\frac{1}{\cos^2(x)}</math>
וכך קיבלנו הדרוש.
--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 09:32, 15 בפברואר 2016 (UTC)