שינויים
יצירת דף עם התוכן "[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]] ==דטרמיננטות== '''הגדרה'..."
[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
==דטרמיננטות==
'''הגדרה''' הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית <math>A\in F^{n\times n}</math> היא סקלר <math>det(A)=|A|\in F</math> המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
'''חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות'''
* הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 <math>A=(\alpha)\in F^{1\times 1}</math> היא הערך היחיד במטריצה <math>det(A)=\alpha</math>.
*הדטרמיננטה של מטריצה <math>A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}</math> היא <math>det(A)=ad-bc</math>.
למשל: <math>det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 </math>.
==חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)==
'''סימון''' עבור מטריצה <math>A\in F^{n\times n}</math> נסמן ב <math>M_{ij}</math> את המטריצה מגודל <math>n-1 \times n-1</math> המתקבלת מ<math>A</math> ע"י מחיקת השורה ה<math>i</math> והעמודה ה<math>j</math>. זה נקרא המינור ה<math>ij</math> של המטריצה.
דוגמא: עבור <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> למשל
<math>M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}</math>
<math>M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}</math>
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי השורה ה<math>i</math>''':
<math>|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j)a_{ij}|M_{ij}|</math>
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי העמודה ה<math>j</math>''':
<math>|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j)a_{ij}|M_{ij}|</math>
לדוגמא:
<math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> נפתח לפי השורה הראשונה:
<math>|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 </math>
==דטרמיננטות==
'''הגדרה''' הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית <math>A\in F^{n\times n}</math> היא סקלר <math>det(A)=|A|\in F</math> המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
'''חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות'''
* הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 <math>A=(\alpha)\in F^{1\times 1}</math> היא הערך היחיד במטריצה <math>det(A)=\alpha</math>.
*הדטרמיננטה של מטריצה <math>A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}</math> היא <math>det(A)=ad-bc</math>.
למשל: <math>det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 </math>.
==חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)==
'''סימון''' עבור מטריצה <math>A\in F^{n\times n}</math> נסמן ב <math>M_{ij}</math> את המטריצה מגודל <math>n-1 \times n-1</math> המתקבלת מ<math>A</math> ע"י מחיקת השורה ה<math>i</math> והעמודה ה<math>j</math>. זה נקרא המינור ה<math>ij</math> של המטריצה.
דוגמא: עבור <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> למשל
<math>M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}</math>
<math>M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}</math>
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי השורה ה<math>i</math>''':
<math>|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j)a_{ij}|M_{ij}|</math>
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי העמודה ה<math>j</math>''':
<math>|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j)a_{ij}|M_{ij}|</math>
לדוגמא:
<math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> נפתח לפי השורה הראשונה:
<math>|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 </math>
