שינויים
למדנו על [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים|חסמים]] על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
נגדיר
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של '''קבוצת''' אברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק אבר.
במילים בלתי-מדויקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
;העשרה
סדרה הנה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\N\times A</math> . אם כך, אנו מגדירים
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\N-\{1,2,\ldots,i-1\})\times A\big]\Big] </math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמאות.'''</font>
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math> :
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול העליון הנו <math>\limsup_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}b_i=1</math>
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול התחתון הנו <math>\liminf_{n\to\infty}a_n:=\lim\limits_{i\to\infty}c_i=-1</math>
*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> .
:<math>b_1=\sup\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=1</math>
::::<math>b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}vdots</math>
:<math>c_2=\inf\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}=0</math>
::::<math>c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0vdots</math>
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
'''משפט.''' לכל סדרה יש תת -סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
'''משפט.''' גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
יהיו <math>a_n,b_n</math> סדרות כך ש - <math>\forall n:a_n\leq le b_n</math>. הוכח/הפרך:
1. <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup_{n\to\limsup infty}b_n</math>
2. <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\liminf_{n\to\liminf infty}b_n</math>
3. <math>\liminf liminf_{n\to\infty}a_n \leq le\liminf_{n\to\liminf infty}b_n</math> '''פתרון.'''
;פתרון
1. הוכחה:
* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\rightarrow to\limsup limsup_{n\to\infty}a_n</math>* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq le b_{n_k}</math>* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת -סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrowto\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>* כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow to\limsup limsup_{n\to\infty}a_n</math>* מכיוון מכיון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת -סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.** כלומר, <math>\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math> הינו הנו גבול חלקי של <math>b_n</math>.* הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}\leqle\limsup limsup_{n\to\infty}b_n</math>* כמו כן, כיוון כיון ש - <math>a_{n_{k_j}}\leq le b_{n_{k_j}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס: <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup limsup_{n\to\infty}b_{n_k}</math>
ביחד אנו מקבלים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n \leq le\limsup_{n\to\limsup infty}b_n</math>
3. הוכחה:
ידוע מתרגילי הבית כי <math>\liminf liminf_{n\to\infty}a_n = -\limsuplimsup_{n\to\infty}{(-a_n)}</math>
לכן, לפי סעיף א',
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
;הוכחה
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.
*כיוון כיון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup limsup_{n\to\infty}a_n,\liminf liminf_{n\to\infty}a_n \in A</math>
*כיוון כיון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.
*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה