שינויים
יצירת דף עם התוכן "==איזומורפיזמים בין קס"חים== '''תרגיל''' האם <math>(\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )</math>? '''פתרון''' כן...."
==איזומורפיזמים בין קס"חים==
'''תרגיל'''
האם <math>(\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )</math>?
'''פתרון'''
כן. נוכל להגדיר <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^+</math> ע"י <math>f(x)=e^x</math>, והיא כמובן חח"ע ועל ושומרת סדר.
'''תרגיל'''
תהיינה <math>A,B,C</math> קס"ח כך ש <math>A\cong B\land B\cong C</math>. הוכח או הפרך: <math>A\cong C</math>.
'''פתרון'''
הוכחה: יש פונקציות חח"ע, על ושומרות סדר <math>f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C</math>, ההרכבה שלהן <math>g\circ f</math> היא חח"ע ועל (משפט) והיא גם שומרת סדר.
==עוצמות==
בעבר ראינו את התרגיל הבא: תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>. ראינו שזהו יחס שקילות ונדרשנו למצוא את <math>|P(A)/\sim |</math>. וראינו: <math>|P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|}</math>. נשים לב שמה שעשינו אז היה בעצם להראו שיש פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצות, והיא <math>f:P(B) \rightarrow P(A)/\sim</math> המוגדרת ע"י <math>f(C)=[C]</math>. היא חח"ע כי לכל שתי קבוצות שונות מ-<math>B</math> יש מחלקות שקילות שונות כי הן אינן שקולות (החיתוך שלהן עם <math>B</math> זה הן עצמן, והן שונות). היא על, כי כפי שראינו לכל <math>[C]\in P(A)/\sim</math> מתקיים ש- <math>C\cap B\sim C\land C\cap B\in B</math>, ולכן <math>C\cap B</math> היא המקור. לכן יש להן אותה עוצמה.
==הכנה למבחן==
'''תרגיל'''
תהיינה <math>f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציות. נאמר ש<math>f</math> מתאימה ל<math>g</math> אם לכל <math>x_1\in \mathbb{R}</math> קיים <math>x_2\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>f(x_1)\leq g(x_2)</math>. הוכח או הפרך:
א. אם <math>f</math> מתאימה ל<math>g</math> אז גם <math>g</math> מתאימה ל<math>f</math>.
ב. קיימת פונקציה <math>f</math> המתאימה לכל פונקציה <math>g</math>.
ג. קיימת פונקציה <math>f</math> שכל פונקציה <math>g</math> מתאימה לה.
ד. האם זהו יחס סדר חלקי?
'''פתרון'''
א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.
ב. לא. נניח בשלילה שיש <math>f</math> כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה <math>f(x)=a</math>, ולכן לכל <math>x_1\in \mathbb {R}</math> צריך להתקיים <math>f(x_1)\leq a\forall a\in \mathbb {R}</math>, וזה לא יכול להיות.
ג. נכון, למשל <math>e^x</math>. כי תהי <math>f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ויהי <math>x_1\in \mathbb {R}</math> אזי מתקיים <math>f(x_1)\leq e^{f(x_1)}</math>.
ד. לא הפונקציות <math>\sin (x),\cos (x)</math> שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.
'''תרגיל'''
האם <math>(\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )</math>?
'''פתרון'''
כן. נוכל להגדיר <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^+</math> ע"י <math>f(x)=e^x</math>, והיא כמובן חח"ע ועל ושומרת סדר.
'''תרגיל'''
תהיינה <math>A,B,C</math> קס"ח כך ש <math>A\cong B\land B\cong C</math>. הוכח או הפרך: <math>A\cong C</math>.
'''פתרון'''
הוכחה: יש פונקציות חח"ע, על ושומרות סדר <math>f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C</math>, ההרכבה שלהן <math>g\circ f</math> היא חח"ע ועל (משפט) והיא גם שומרת סדר.
==עוצמות==
בעבר ראינו את התרגיל הבא: תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>. ראינו שזהו יחס שקילות ונדרשנו למצוא את <math>|P(A)/\sim |</math>. וראינו: <math>|P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|}</math>. נשים לב שמה שעשינו אז היה בעצם להראו שיש פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצות, והיא <math>f:P(B) \rightarrow P(A)/\sim</math> המוגדרת ע"י <math>f(C)=[C]</math>. היא חח"ע כי לכל שתי קבוצות שונות מ-<math>B</math> יש מחלקות שקילות שונות כי הן אינן שקולות (החיתוך שלהן עם <math>B</math> זה הן עצמן, והן שונות). היא על, כי כפי שראינו לכל <math>[C]\in P(A)/\sim</math> מתקיים ש- <math>C\cap B\sim C\land C\cap B\in B</math>, ולכן <math>C\cap B</math> היא המקור. לכן יש להן אותה עוצמה.
==הכנה למבחן==
'''תרגיל'''
תהיינה <math>f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציות. נאמר ש<math>f</math> מתאימה ל<math>g</math> אם לכל <math>x_1\in \mathbb{R}</math> קיים <math>x_2\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>f(x_1)\leq g(x_2)</math>. הוכח או הפרך:
א. אם <math>f</math> מתאימה ל<math>g</math> אז גם <math>g</math> מתאימה ל<math>f</math>.
ב. קיימת פונקציה <math>f</math> המתאימה לכל פונקציה <math>g</math>.
ג. קיימת פונקציה <math>f</math> שכל פונקציה <math>g</math> מתאימה לה.
ד. האם זהו יחס סדר חלקי?
'''פתרון'''
א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.
ב. לא. נניח בשלילה שיש <math>f</math> כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה <math>f(x)=a</math>, ולכן לכל <math>x_1\in \mathbb {R}</math> צריך להתקיים <math>f(x_1)\leq a\forall a\in \mathbb {R}</math>, וזה לא יכול להיות.
ג. נכון, למשל <math>e^x</math>. כי תהי <math>f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ויהי <math>x_1\in \mathbb {R}</math> אזי מתקיים <math>f(x_1)\leq e^{f(x_1)}</math>.
ד. לא הפונקציות <math>\sin (x),\cos (x)</math> שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.
