שינויים
/* יחסי סדר */
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינמלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x</math>. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מינימוםקטן ביותר''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(x,y)\in R</math>. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)*איבר <math>x\in A</math> נקרא '''מקסימוםגדול ביותר''' ביחס לR אם <math>\forall y\in A:(y,x)\in R</math>. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)
הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום קטן ביותר הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימוםהגדול ביותר.
הערה: מינימום <math>\leftarrow</math> מינימלי, וכן מקסימום <math>\leftarrow</math> מקסימלי, ולא להיפך!
====תרגיל====
תהא <math>A</math> קבוצה ו<math>R</math> יחס סדר חלקי מעליה. הוכח או הפרך: אם <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז <math>a</math> הוא קטן ביותר.
=====פתרון=====
הפרכה. דוגמה נגדית: נגדיר יחס <math>R</math> מעל <math>A=\mathbb{Z}\cup\left\{ \left\{ 1\right\} \right\}</math> , בצורה הבאה: <math>aRb</math> אם"ם <math>a,b\in\mathbb{Z}\land a\leq b \lor a=b=\left\{ 1\right\}</math> .
ראשית, צ"ל שזה יחס סדר חלקי:
רפלקסיביות: לכל <math>a\in A</math> אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה aRa וכן אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> גם כן מתקיים aRa.
אנטי סמטריות: אם <math>\left(a,b\right),\left(b,a\right)\in R</math> אזי אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה <math>a=b</math> (כי <math>a</math> לא מתייחס לאף אחד אחר חוץ מלעצמו, לפי ההגדרה). אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> אזי בהכרח לפי הגדרת היחס גם <math>b\in\mathbb{Z}</math> ואם <math>a\leq b\land b\leq a</math> בשלמים אז בהכרח <math>a=b</math>.
טרנזטיביות: אם <math>\left(a,b\right),\left(b,c\right)\in R</math> אזי אם <math>a=\left\{ 1\right\}</math> אזי לפי ההגדרה <math>a=b=c</math> וכמובן <math>\left(a,c\right)=\left(a,a\right)\in R</math>. אם <math>a\in\mathbb{Z}</math> אזי בהכרח לפי הגדרת היחס גם <math>b\in\mathbb{Z}</math> ולכן גם <math>c\in\mathbb{Z}</math> ומתקיים <math>a\leq b\leq c</math> ובפרט <math>\left(a,c\right)\in R</math>.
<math>\left\{ 1\right\}</math> הוא איבר מינימלי יחיד בקבוצה. מינימלי כי פרט לעצמו אף איבר לא ניתן להשוואה עימו, ולכן אין שונה ממנו שקטן ממנו, ואין עוד מינימלי כי <math>\forall a\in\mathbb{Z}:a-1<a</math>. הוא לא הקטן ביותר כי אף איבר לא ניתן להשוואה עימו, וכלן לא מתקיים שהוא קטן מכולם (הוא לא קטן מאף שלם).
