'''תרגיל.'''
הוכח כי תהא <math>f הפיכה אם"ם היא :A\rightarrow B</math> פונקציה. הוכיחו: 1. <math>f</math> חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם אמ"ם <math>\exists g:B\rightarrow A:g\circ f=I_A</math> (קיימת לה הופכית אזי היא יחידהימנית) 2.<math>f</math> על אמ"ם <math>\exists g:B\rightarrow A:f\circ g=I_B</math> (קיימת לה הופכית שמאלית)
'''הוכחה:'''
1. מימין לשמאל: אם f הפיכה, אזי <math>A</math> ריקה אז הפונקציה הריקה היא הזהות. אחרת יש <math>a_1\in A</math>. מחח"ע של <math>f</math> נקבל שלכל <math>b\circ in Im(f)</math> יש מקור יחיד, נסמנו ב-<math>f^{-1} = id_B(b)</math> וגם . לכן נוכל להגדיר (כלומר הפונקציה תהיה חד-ערכית) פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> ע"י: <math>g(b)=\begin{cases}f^{-1}(b) & b\circ in Im(f = id_A)\\a_{1} & b\notin Im(f)\end{cases}</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל כעת, נובע יהי <math>a\in A</math>, נקבל לפי ההגדרה ש-<math>g\circ f חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם בדבר הרכבת פונקציות(a)=g(f(a))=a</math>, כי <math>f(a)\in Im(f)</math>.
אם f משמאל לימין: הזהות חח"ע ועל, אז נגדיר ולפי תרגיל מקודם נקבל <math>g:B\to Af</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע) <math>b\in B</math> כך ש <math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.
יחידות2. מימין לשמאל: נניח gאם <math>A</math> ריקה זה מתקיים באופן ריק. אחרת, לכל <math>b\in B</math>,h הופכיות מעל של <math>f אזי </math>h= hיש <math>a\circ I_B=h\circ in A</math> עבורו <math>f \circ (a)=b</math>, נגדיר <math>g(b)=I_A a</math>. כעת <math>f\circ g(b)=f(g(b))</math> ו-<math>g(b)</math> הוא איבר שנשלח ל-<math>b</math> תחת <math>f</math>כמו שרצינו.
דרך אחרת להוכחת יחידותמשמאל לימין: נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות הזהות תמיד על איבר אחד לפחות. כלומר, ולכן לפי תרגיל ממקודם, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של fעל.
==== דוגמאות ====
