שינויים
דף חדש: =תרגיל 5= ==שאלה 1.4== א. זכרו שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים היא <math><v,w>=v^tw</math> ובמקרה זה <math><(1,2,3),(-1,-…
=תרגיל 5=
==שאלה 1.4==
א. זכרו שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים היא <math><v,w>=v^tw</math> ובמקרה זה <math><(1,2,3),(-1,-2,-3)>=1\cdot (-1)+2\cdot (-2)+3\cdot (-3)=-14</math>
ב.
<math>A=\begin{bmatrix}1 & i \\ i & 2\end{bmatrix}</math>,
<math>B=\begin{bmatrix}2 & -i \\ i & 3\end{bmatrix}</math>
<math>B^*=\overline{B^t}=\begin{bmatrix}2 & i \\ -i & 3\end{bmatrix}</math>
<math>AB^*=\begin{bmatrix}3 & 4i \\ 0 & 5\end{bmatrix}</math>
<math><A,B>=tr(AB^*)=8</math>
ג.
<math>\int_0^1f(x)g(x)dx=\int_0^1(x^2+2x+3)(x-2)dx\int_0^1(x^3+2x^2+3x -2x^2 -4x -6)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2-6x\vert_0^1=-6\frac{1}{4}</math>
==שאלה 1.5==
מכפלה פנימית חייבת לקיים את התכונה <math><v,v>=0 \iff v=0</math>. ניקח לדוגמא <math><(3,3),(3,3)>=(3-3)\overline{(3-3)}=0</math> אבל כמובן <math>(3,3)\neq 0</math>
==שאלה 1.9==
ב. <math>[A]_{ij}=<v_i,v_j>=\overline{<v_j,v_i>}=[\overline{A^t}]_{ij}=[A^*]_{ij}</math>.
<math>[A]_{ii}=<v_i,v_i>\geq 0</math> (אי שליליות)
ג.
ניקח <math>A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>. ויוצא ש<math><(1,0),(1,0)>=0</math> אבל <math>(1,0)\neq 0</math> בסתירה לתכונות המכפלה.
==שאלה 4.11==
א. נניח <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בא"נ. יהיה וקטור <math>v</math> אזי יש הצגה <math>v=\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n</math>.
לכן <math><v,v_i>=<\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n,v_i> = \alpha_1<v_1,v_i>+...+\alpha_n<v_n,v_i></math>.
אבל <math>B</math> בא"נ ולכן <math>><v_j,v_i>=0</math> עבור <math>i\neq j</math> וכמו כן <math><v_i,v_i>=1</math> ולכן בסיכום:
<math><v,v_i>=\alpha_i<v_i,v_i>=\alpha_i</math>
==שאלה 1/2 4.12 ==
נניח <math>P</math> אוניטרית, לכן <math>PP^*=I</math>. נזכר ש<math>P^*=\overline{P^t}</math> ולכן
<math>[PP^*]_{ij}=R_i(P)C_j(P^*)=R_i(P)\overline{R_j(P)}^t=<R_i(P),R_j(P)></math>
נובע מזה ששורות <math>P</math> מהוות בא"נ אם"ם <math>PP^*=I</math>.
כעת, <math>I=I^t=(PP^*)^t=\overline{P}P^t=(P^t)^*P^t</math> ולכן <math>P</math> אוניטרית אם"ם <math>P^t</math> אוניטרית.
ולפי מה שראינו <math>P^t</math> אוניטרית אם"ם שורותיה הם בא"נ, אבל אלה בדיוק עמודות <math>P</math>
==שאלה 4.22 ב'==
<math>B=\{v_1=(4,-3,2,1),v_2=(3,-2,1,0),v_3=(2,-1,0,0),v_4=(1,0,0,0)\}</math>
<math>w_1=v_1=(4,-3,2,1)</math>
<math>w_2=v_2-\frac{<v_2,w_1>}{||w_1||^2}w_1=(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3})</math>
<math>w_3=v_3-\frac{<v_3,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_3,w_2>}{||w_2||^2}w_2=(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10})</math>
<math>w_4=v_4-\frac{<v_4,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_4,w_2>}{||w_2||^2}w_2-\frac{<v_4,w_3>}{||w_3||^2}w_3=(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)</math>
ועכשיו נותר לנרמל את הוקטורים על מנת לקבל בסיס אורתונורמלי:
<math>\{\frac{1}{\sqrt{30}}(4,-3,2,1),\sqrt{\frac{3}{2}}(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}),\sqrt{\frac{10}{3}}(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10}),\sqrt{6}(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)\}</math>
==שאלה 1.4==
א. זכרו שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים היא <math><v,w>=v^tw</math> ובמקרה זה <math><(1,2,3),(-1,-2,-3)>=1\cdot (-1)+2\cdot (-2)+3\cdot (-3)=-14</math>
ב.
<math>A=\begin{bmatrix}1 & i \\ i & 2\end{bmatrix}</math>,
<math>B=\begin{bmatrix}2 & -i \\ i & 3\end{bmatrix}</math>
<math>B^*=\overline{B^t}=\begin{bmatrix}2 & i \\ -i & 3\end{bmatrix}</math>
<math>AB^*=\begin{bmatrix}3 & 4i \\ 0 & 5\end{bmatrix}</math>
<math><A,B>=tr(AB^*)=8</math>
ג.
<math>\int_0^1f(x)g(x)dx=\int_0^1(x^2+2x+3)(x-2)dx\int_0^1(x^3+2x^2+3x -2x^2 -4x -6)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2-6x\vert_0^1=-6\frac{1}{4}</math>
==שאלה 1.5==
מכפלה פנימית חייבת לקיים את התכונה <math><v,v>=0 \iff v=0</math>. ניקח לדוגמא <math><(3,3),(3,3)>=(3-3)\overline{(3-3)}=0</math> אבל כמובן <math>(3,3)\neq 0</math>
==שאלה 1.9==
ב. <math>[A]_{ij}=<v_i,v_j>=\overline{<v_j,v_i>}=[\overline{A^t}]_{ij}=[A^*]_{ij}</math>.
<math>[A]_{ii}=<v_i,v_i>\geq 0</math> (אי שליליות)
ג.
ניקח <math>A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>. ויוצא ש<math><(1,0),(1,0)>=0</math> אבל <math>(1,0)\neq 0</math> בסתירה לתכונות המכפלה.
==שאלה 4.11==
א. נניח <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בא"נ. יהיה וקטור <math>v</math> אזי יש הצגה <math>v=\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n</math>.
לכן <math><v,v_i>=<\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n,v_i> = \alpha_1<v_1,v_i>+...+\alpha_n<v_n,v_i></math>.
אבל <math>B</math> בא"נ ולכן <math>><v_j,v_i>=0</math> עבור <math>i\neq j</math> וכמו כן <math><v_i,v_i>=1</math> ולכן בסיכום:
<math><v,v_i>=\alpha_i<v_i,v_i>=\alpha_i</math>
==שאלה 1/2 4.12 ==
נניח <math>P</math> אוניטרית, לכן <math>PP^*=I</math>. נזכר ש<math>P^*=\overline{P^t}</math> ולכן
<math>[PP^*]_{ij}=R_i(P)C_j(P^*)=R_i(P)\overline{R_j(P)}^t=<R_i(P),R_j(P)></math>
נובע מזה ששורות <math>P</math> מהוות בא"נ אם"ם <math>PP^*=I</math>.
כעת, <math>I=I^t=(PP^*)^t=\overline{P}P^t=(P^t)^*P^t</math> ולכן <math>P</math> אוניטרית אם"ם <math>P^t</math> אוניטרית.
ולפי מה שראינו <math>P^t</math> אוניטרית אם"ם שורותיה הם בא"נ, אבל אלה בדיוק עמודות <math>P</math>
==שאלה 4.22 ב'==
<math>B=\{v_1=(4,-3,2,1),v_2=(3,-2,1,0),v_3=(2,-1,0,0),v_4=(1,0,0,0)\}</math>
<math>w_1=v_1=(4,-3,2,1)</math>
<math>w_2=v_2-\frac{<v_2,w_1>}{||w_1||^2}w_1=(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3})</math>
<math>w_3=v_3-\frac{<v_3,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_3,w_2>}{||w_2||^2}w_2=(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10})</math>
<math>w_4=v_4-\frac{<v_4,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_4,w_2>}{||w_2||^2}w_2-\frac{<v_4,w_3>}{||w_3||^2}w_3=(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)</math>
ועכשיו נותר לנרמל את הוקטורים על מנת לקבל בסיס אורתונורמלי:
<math>\{\frac{1}{\sqrt{30}}(4,-3,2,1),\sqrt{\frac{3}{2}}(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}),\sqrt{\frac{10}{3}}(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10}),\sqrt{6}(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)\}</math>
