שינויים

===תרגיל===

בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי , ולכן

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \LeftarrowRightarrow</math>

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \LeftarrowRightarrow</math>

בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי . לכן

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \LeftarrowRightarrow</math>

<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow Rightarrow</math>

(כי אם <math>x\in C</math> אזי אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)

<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>

א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>.

<math>x\in [A\cup(B/\setminus A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>

כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>[(x\in A)\rightarrow or (x\in B)</math> ניתן להסיק בקלות ש<math>] \and [(x\in A)\or (x\in B) \iff (x\in Bnotin A)] </math> כפי שרצינו.

דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון <math>U:=(x\in A)\rightarrow (x\in B)</math> ואז צריך להוכיח כי ניתן להסיק בקלות ש-<math>A(x\cup in A^c =U)\or (x\in B) \iff (x\in B)</math> וזה אכן נכון!, כפי שרצינו.

ג. נניח בשלילה ש-<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה , החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>C \varnothing ne\not=Cvarnothing</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC ש-<math>C</math> אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש-<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן <math>c </math> מוכל בחיתוך , בסתירה לכך שהחיתוך ריק.