שינויים
יצירת דף עם התוכן "===תרגיל=== יהי <math>V</math> מרחב וקטורי, ונניח <math>S=\{v,u,w\}</math> קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: <math>S'..."
===תרגיל===
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי, ונניח <math>S=\{v,u,w\}</math> קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: <math>S'=\{v+u,v+w,u+w\}</math> פורשת.
====פתרון====
כפי שראינו בכיתה, לוקחים <math>v\in V</math> כללי ובודקים האם יש <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3</math> כך ש- <math>\alpha_1(v+u)+\alpha_2(v+w)+\alpha_3(u+w)=v</math>. לפי הנתון ש-<math>S</math> פורשת ידוע שיש <math>\beta_1,\beta_2,\beta_3</math> כך ש- <math>\beta_1v+\beta_2u+\beta_3w=v</math>, לכן אם מתקיים <math>\alpha_1+\alpha_2=\beta_1\land \alpha_1+\alpha_3=\beta_2\land \alpha_2+\alpha_3=\beta_3</math> אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:
<math>\begin{bmatrix} 1&1&0&|\beta_1 \\ 1&0&1&|\beta_2 \\ 0&1&1&|\beta_3 \end{bmatrix}</math>.
כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.
נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים <math>S'=\{v+u,u+w\}</math> מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי, ונניח <math>S=\{v,u,w\}</math> קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: <math>S'=\{v+u,v+w,u+w\}</math> פורשת.
====פתרון====
כפי שראינו בכיתה, לוקחים <math>v\in V</math> כללי ובודקים האם יש <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3</math> כך ש- <math>\alpha_1(v+u)+\alpha_2(v+w)+\alpha_3(u+w)=v</math>. לפי הנתון ש-<math>S</math> פורשת ידוע שיש <math>\beta_1,\beta_2,\beta_3</math> כך ש- <math>\beta_1v+\beta_2u+\beta_3w=v</math>, לכן אם מתקיים <math>\alpha_1+\alpha_2=\beta_1\land \alpha_1+\alpha_3=\beta_2\land \alpha_2+\alpha_3=\beta_3</math> אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:
<math>\begin{bmatrix} 1&1&0&|\beta_1 \\ 1&0&1&|\beta_2 \\ 0&1&1&|\beta_3 \end{bmatrix}</math>.
כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.
נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים <math>S'=\{v+u,u+w\}</math> מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.
