שינויים

תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>.הוכיחו:

א. הוכח שזהו זהו יחס שקילות.

ב. מצא את לכל <math>|P(X\subseteq A)</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>. ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\sim |neq [D]</math>.

ב. פיתרון: יהי <math>|P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|}</math>. הוכחה: מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[C]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[C]=\{ DX\subseteq A|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- נשים לב שמתקיים <math>(CX\cap B)\cap B=CX\cap B</math> נקבל ולכן <math>[CX]_R=[CX\cap B]_R</math>, ו-ובנוסף מתקיים <math>CX\cap B\subseteq B</math> הוא הנציג שחיפשנו. מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז ולכן נוכל לבחור <math>C=X\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.

ובסה"כ קיבלנו שכל איבר ב- ג. תהיינה <math>PC,D\subseteq B</math> שונות. לכן קיים (Aבה"כ)/<math>x\in C\simsmallsetminus D</math> מוגדר ע"י תת קבוצה של וכמובן <math>x\in B</math> ושאין חזרה כי כל שתי תתי קבוצות שונות של , ולכן נקבל <math>x\in C\cap B\land x\notin D\cap B</math> מגדירות מחלקת שקילות שונה. לכן מספר האיברים בקבוצת המנה הוא כמספר תתי הקבוצות של כלומר <math>C\cap B\neq D\cap B</math> ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.