שינויים
יצירת דף עם התוכן "חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]]. ==הצגה פולרית של מספרים מרוכבים=..."
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הצגה פולרית של מספרים מרוכבים==
נתבונן במספר מרוכב <math>z=a+bi</math>, נסמן ב<math>\theta</math> את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב<math>r</math> את הנורמה, אז נקבל: <math>\cos \theta = \frac{a}{r},\sin \theta = \frac{b}{r}, \tan \theta = \frac{b}{a}</math>. ולכן נקבל <math>z=r\cdot \cos \theta +r\cdot \sin \theta i</math>, שמסומן בקצרה: <math>r\text{cis} \theta</math>.
===מעבר בין הצגות===
מקרטזית לפולרית: בהינתן <math>z=a+bi</math>, ניקח <math>r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{where} \tan \theta =\frac{b}{a}</math> עד כדי הוספת <math>\pi</math> לפי מיקום המספר על הצירים.
'''לדוגמא:''' עבור המספר <math>-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> נקבל <math>r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}</math>.
מפולרית לקרטזית: אם <math>z=r\text{cis} \theta</math> אז <math>a=r\cos \theta,b=r\sin \theta</math>.
====תרגיל====
חשבו:
1. <math>5\text{cis}60\cdot 7\text{cis}45</math>.
2. <math>2\text{cis}30+4\text{cis}135</math>.
=====פתרון=====
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות.
2. וברים לקרטזית ושם מחברים.
===נוסחת דה-מואבר===
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>.
'''לדוגמא:''' <math>)(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}</math>.
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם <math>(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi</math> אז <math>r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}</math>.
====תרגיל====
חשב את <math>\sqrt[3]{8\text{cis}\frac{\pi}{4}}</math>
=====פתרון=====
נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.
==שורשים של פולינם==
====תרגיל====
פתרו: <math>z^5=-2</math>.
=====פתרן=====
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>ש=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>. כך נמצא את <math>b,c</math>.
==הצגה פולרית של מספרים מרוכבים==
נתבונן במספר מרוכב <math>z=a+bi</math>, נסמן ב<math>\theta</math> את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב<math>r</math> את הנורמה, אז נקבל: <math>\cos \theta = \frac{a}{r},\sin \theta = \frac{b}{r}, \tan \theta = \frac{b}{a}</math>. ולכן נקבל <math>z=r\cdot \cos \theta +r\cdot \sin \theta i</math>, שמסומן בקצרה: <math>r\text{cis} \theta</math>.
===מעבר בין הצגות===
מקרטזית לפולרית: בהינתן <math>z=a+bi</math>, ניקח <math>r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{where} \tan \theta =\frac{b}{a}</math> עד כדי הוספת <math>\pi</math> לפי מיקום המספר על הצירים.
'''לדוגמא:''' עבור המספר <math>-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> נקבל <math>r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}</math>.
מפולרית לקרטזית: אם <math>z=r\text{cis} \theta</math> אז <math>a=r\cos \theta,b=r\sin \theta</math>.
====תרגיל====
חשבו:
1. <math>5\text{cis}60\cdot 7\text{cis}45</math>.
2. <math>2\text{cis}30+4\text{cis}135</math>.
=====פתרון=====
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות.
2. וברים לקרטזית ושם מחברים.
===נוסחת דה-מואבר===
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>.
'''לדוגמא:''' <math>)(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}</math>.
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם <math>(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi</math> אז <math>r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}</math>.
====תרגיל====
חשב את <math>\sqrt[3]{8\text{cis}\frac{\pi}{4}}</math>
=====פתרון=====
נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.
==שורשים של פולינם==
====תרגיל====
פתרו: <math>z^5=-2</math>.
=====פתרן=====
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>ש=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>. כך נמצא את <math>b,c</math>.
