נוספו 3,532 בתים,
10:42, 20 בנובמבר 2018 חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הגדרה==
כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה <math>f(a+bi)=2ab-ba^2i</math>, זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: <math>U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2</math> ואז נקבל: <math>f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i</math>.
==רציפות==
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
===משפטים===
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.
===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> רציפה בנק' <math>(x_0,y_0)</math> אם לכל זוג סדרות <math>x_n\to x_0,y_n\to y_0</math> מתקיים: <math>|f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0</math>. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.
====תרגיל====
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
\frac{\sin x}{y} & y\neq0\\
1 & y=0
\end{cases}</math>
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב<math>(0,0)</math> כדי שכן תהיה רציפה שם?
=====פתרון=====
לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות <math>x_{n}\to 0,y_{n}\to 0</math> עבורן לא מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. וזה מה שנעשה כאן:
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, <math>x_{n}=0</math>, וניקח למשל <math>y_{n}=\frac{1}{n}</math>, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin0}{\frac{1}{n}}=0</math>). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב<math>(0,0)</math> נובע שהפונקציה לא רציפה.
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".