סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
==משוואות תנאי קושי-רימן==
===נגזרות חלקיות===
תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
'''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>. כמובן, הנגזרת בעצמה היא פונקציה בשתי משתנים, ולכן גם אותה ניתן לגזור לפי כל אחד מהמשתנים. כלומר נקבל שיש 4 "נגזרת שנייה":
1. <math>U_{xx}=2</math>עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
2. כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של <math>U_{xy}=2U,V</math>המתאימות.
3. ===תנאי קושי רימן===תהי <math>U_{yx}f(x+yi)=2U(x,y)+V(x,y)i</math>פונקציה מרוכבת.<math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=(x_o,y_0)</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
4. <math>U_\begin{yycases}U_x=0V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>.
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעהובמקרה זה מתקיים: <math>f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i</math>. ====תרגיל====באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות: 1. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math> 2. <math>f(z)=z+Re(z)</math> 3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math> 4. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math> =====פתרון===== ===משפט===פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה. ====תרגיל====הוכיחו שאם <math>f=U+Vi</math> גזירה והחלק הממשי של <math>f</math> הוא פונקציה קבועה אז <math>f</math> קבועה. =====פתרון=====<math>U</math> קבועה ולכן <math>U_x=U_y=0</math>, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן <math>V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0</math>, ולכן גם <math>V</math> קבועה. ולכן<math>f</math> קבועה.
