בדיקה== אינטגרבליות == '''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>). (1) נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:# אינטגרבליות לפי דרבו# אינטגרבליות לפי רימן היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו. === אינטגרבליות לפי דרבו === תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>. <math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math> <math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math> <math>\overline I=\underline I</math> '''דוגמה 1:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל. '''פתרון:''' ''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש. ''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.# רוחב המלבן# אורך המלבן (נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון) באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון: <math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n</math> ... אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח). עבור <math>\overline I</math> נרשום:<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math>... באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math> '''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math> '''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית. '''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת). נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>. כאשר <math>k\in\{0,1,2,\dots\}</math> מתקיים <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום). <math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>
