שינויים
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>
----
'''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך'''''.
'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>
----
'''ד<math>|f|</math>וגמה 3:''' הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
'''פתרון:''' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה <math>f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
'''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
'''דוגמה 4:''' הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,d]\subseteq[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
'''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> המקיימת ב-<math>[a,b]</math> ש-<math>\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math>.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. <math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> ובאופן דומה: <math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>.
...
{{משל}}
'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)</math>
