שינויים
/* פתרון */
====פתרון====
'''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נשים לב כי נגדיר <math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}:=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=\{c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b\}</math> ו-<math>T_\varepsilon=cup\{a,c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b\}</math>.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:
{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)
|r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)
|c=מתקיים נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:
}}
{{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})
{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2
|o=\le
|c=נבחר c כך ש-<math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי אם נדמיין את הגרף נראה שכאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)}(M-m)\to0</math>:)
}}
{{=|r=\varepsilon
