שינויים

==אינטגרל לפי רימן=='''הגדרה: ''' יהי <math>[a,b] </math> קטע סגור. נסמן את <math>T_{[a,b]}</math> כ-כחלוקה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונקרא ל-T חלוקה. נסמן <math>\Delta X_ix_i=x_i-x_{i-1}</math> כאשר <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>.הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי T חלוקה של הקטע עבור כל תת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> ונבחר נקודה <math>\alpha_i\in[x_{i-1},x_i]</math> ונבנה סכום מהצורה <math>\sigma=\sum_{i=1}^n f(\alpha_i)\Delta x_i</math> סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי בחלוקה <math>\Delta x_i</math> ו-<math>\alpha_i</math>.הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-<math>\lambda(T)=\max_{i=1}^n\Delta x_i</math>.הגדרה: תהי <math>\{T_n\}</math> סדרת חלוקות של הקטע <math>[a,b] </math>. נאמר כי <math>T_n</math> נורמלית אם <math>\lim_{n\to0}\lambda(T_n)=0</math>.הגדרה: נאמר כי הסכומים 6 של רימן שואפים לגבול L כאשר <math>\lambda(T)\to0</math> ואם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T עבור <math>\lambda(T)<\delta</math>מתקיים <math>|\sigma-L|<\varepsilon</math>.

'''הגדרה:''' תהי f פונקציה המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע <math>[x_{i-1},x_i]</math> נבחר נקודה <math>\alpha_i\in[x_{i-1},x_i]</math> ונבנה סכום מהצורה <math>\sigma=\sum_{i==דוגמה 1===דוגמה קלאסית היא פונקצית דיריכלה. לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהי נקודה.}^n f(\alpha_i)\Delta x_i</math>.סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב-<math>\Delta x_i</math> וב-<math>\alpha_i</math>.

קל לראות שגם כל הסכומים ביניהם מתקבלים.===דוגמה 2===קבוע אינטגרביליות '''הגדרה:''' תהי <math>\{T_n\}</math> סדרת חלוקות של f בקטע הקטע <math>[0a,1b] כאשר </math>. נאמר כי <math>T_n</math> נורמלית אם <math>f(x)=\beginlim_{cases}2&0n\le x\le\tfrac13to\infty}\lambda(T_n)=0&\tfrac13\le x<\tfrac23\\1&\tfrac23\le x\le1\end{cases}</math>.

====פתרון====נוכיח אינטגרביליות לפי '''הגדרה:''' נאמר כי סכומי רימן. תהי שואפים לגבול I כאשר <math>\lambda(T)\to0</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> נתון. צריך להוכיח כי קיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל חלוקה T, עבור עבורה <math>\lambda(T)<\delta</math> מתקיים <math>|\sigma-LI|<\varepsilon</math>. נצייר את הפונקציה:גרף (1)

נזכיר כי L היא ערך האינטגרל ולכן, במקרה שלנו <math>2\cdot\tfrac13+==דוגמה 1\cdot\tfrac13=1</math>=דוגמה קלאסית לפונקציה לא אינטגרבילית היא פונקצית דיריכלה. נסמן את החלוקה T של [0,1] כלכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע <math>\[x_{0,\tfrac13,\tfrac23,i-1\},x_i]</math>.נבחר <math>T_\delta</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta[a,b]</math> ונבנה את ולכן סכום רימן באופן הבא:תהי <math>x_i</math> הנקודה הכי קרובה יכול להיות כל ערך בין 0 ל-<math>\tfrac13</math> משמאל ותהי <math>x_j</math> כנקדה הכי קרובה ל-<math>\tfarc23</math> משמאל. ברור כי <math>x_i,x_j\in T_\delta</math>. הסכום הוא <math>\sigma=2(x_1-x_0)+2(x_2-x_1)+\dots+\underbrace A_{=0\text{ or }2}(\underbrace{\tfrac13}_{=x_{j+1}}-x_j)+\dots+0(x_kb-x_{k-1})+\underbrace B_{(1)}(\tfrac23-x_k)+1(x_{k+2}-x_{k+1})+\dots+1(\underbrace 1_{=x_n}-x_{n-1}a)</math># שוב נקודת תפר בין הפונקציות(כולל).

נשים לב כי <math>\frac23-==דוגמה 2\delta+\frac13\le\sigma\le\frac23+\delta+\frac13==קבע אינטגרביליות של f בקטע </math>. נזכיר כי L=[0,1 ולכן נבדוק מהו <math>\sigma-L]</math>:כאשר <math>-2f(x)=\delta+1begin{cases}2&0\lex<\sigmatfrac13\le1+\delta0&\tfrac13\le x</math> ולכן <math>|\sigma-tfrac23\\1|&\le2tfrac23\delta</math> (נשים לב שבמקרה זה יתכן גם שיוויון). לכן נבחר <math>le x\delta=le1\frac\varepsilon4end{cases}</math> ונקבל את הדרוש. {{משל}}

נסמן נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי <math>\{a_k\}_{k=varepsilon>0}^n=1+\frac kn</math>נתונה. קל לראות שמדובר בקטע [1,2]. לפי חוקי צריך להוכיח כי קיימת <math>\lndelta>0</math>-ים אפשר לרשום: כך שלכל חלוקה T, עבורה <math>\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\proud_{i=1}^n\leftlambda(1+\frac in\rightT)}=<\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \proud_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)delta</math>.ראינו כי מתקיים <math>|\{a_isigma-I|<\}_{i=1}^n=\left\{1+\frac in\right\}_{i=1}^nvarepsilon</math> בקטע [1,2].נצייר את הפונקציה:

נסמן את f להיות <math>f(x)=\ln x</math> בקטע <math>(1,2]</math> ברור כי <math>\ln x</math> אינטגרבילית ולכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n f\left(1+\frac in\right)</math>. מכיוון ש-f אינטגרבילית נבחר <math>\Delta x=\frac1n</math> כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n f\leftגרף (1+\frac in\right)=\int\limits_1^2\ln x\mathrm dx</math>

הערה: את האינטגרל הנ"אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל נלמד לפתון בשיעור הבא.-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>:

בנקודה נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא:תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=1\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math> ברור ש-. הסכום הוא{{left|<math>\intbegin{array}{l l l}\limits_1^sigma&=&2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1})\ln x\mathrm dx&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1})\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math> ולכן אין משמעות שהתעלמנו מהנקודה 1.}}

נשים לב שבמקרה זה אפשר להוסיף גם את כי <math>x=x_{i+1}-x_i,x_{j+1}-x_j<\delta</math> ולכן <math>2x_i>\frac23-2\delta</math> ו-<math>1-x_j<\delta+\frac13</math>. כמו כן, לפי הגדרת <math>x_i,x_j</math>, מתקיים <math>2x_i<\frac23</math> ו-<math>1-x_j>\frac13</math>. מכאן ש-<math>\frac23-2\delta+\frac13<\sigma<\frac23+\delta+\frac13</math>. נזכיר כי היא רציפהחשדנו ש-<math>I=1</math> ולכן נבדוק מהו <math>\sigma-1</math>:<math>-2\delta+1<\sigma<1+\delta</math> ולכן <math>|\sigma-1|<2\delta</math>. נבחר <math>\delta=\frac\varepsilon2</math> ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית.{{משל}}

משפט==דוגמה 3==חשב את הגבול <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\dots\left(1+\frac nn\right)}</math>.===פתרון===נתבונן בסדרה <math>\left\{1+\frac in\right\}_{i=0}^n</math>. כאשר <math>n\to\infty</math>, קל לראות שמדובר בקטע <math>[1,2]</math>. לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: אם <math>f\lim_{n\to\infty} \ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\left(x1+\frac in\right)}=\lim_{n\to\infty} \frac1n \ln \prod_{i=1}^n\ge gleft(x1+\frac in\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)</math> ו. ברור כי ln אינטגרבילית ב-f ו-g אינטגרביליות אז <math>[1,2]</math> ולכן נבחר חלוקה שעבורה <math>\intDelta x=\limits_afrac1n</math>, ואז <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{i=1}^b fn \ln\left(x)1+\mathrm dxfrac in\geright)=\int\limits_alimits_1^b g2\ln(x)\mathrm dx</math>.

===דוגמה 4===קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי'''הערה: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>.====פתרון====נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f(x)\mathrm dx\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx</math>, כלומר אי-שלילי''' את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.

נוסיף ש-<math>x=0</math> אינו בקטע ולכן חיובית---

===דוגמה 5===נוכיח כי משפט: אם <math>\int\limits_1^4\sqrt{1+f(x^2})\mathrm dx\ge7.5</math>.====פתרון====נתון כי <math>1\le ge g(x\le4)</math> ולכן <math>1\le x^2\le16</math>. מכאן שו-f ו-g אינטגרביליות אז <math>\sqrt2int\le\sqrt{1+xlimits_a^2}b f\le\sqrt{17}</math> חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל)<math>ge\int\limits_1limits_a^4\sqrt2\mathrm dx=[\sqrt2x]_{x=1}^4=\sqrt2\cdot4-\sqrt2=3\cdot\sqrt2b g</math>....

דרך 2==דוגמה 4==קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>1+x\int\limits_{-3}^2{-1}\le frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\le0mathrm dx</math> ולכן .===פתרון===נסמן <math>f(x)=\sqrtfrac{1+x^24}\ge{\sqrt{2-x^2}=|x|}</math> קל לראות ש-f חיובית.לכן בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_1limits_{-3}^4 \sqrt{-1+x^2}\mathrm dxf\ge\int\limits_1limits_{-3}^4 |x|{-1} 0\mathrm dx=\int\limits_1^4 x\mathrm dx0(-1-(-3))=\left[\frac{x^2}2\right]_{0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=1}^4=0</math>(שהיא הנקודה המאפסת היחיד של f ב-<math>\mathbb R</math>) אינה בקטע ולכן התוצאה '''חיובית'''...{{משל}}

==דוגמה 5==נוכיח כי <math>\int\limits_1^4\sqrt{1+x^2}\mathrm dx\ge7.5</math>.===פתרון===נתון כי <math>1\le x\le4</math> ולכן <math>1\le x^2\le16</math>. מכאן ש-<math>\sqrt2\le\sqrt{1+x^2}\le\sqrt{17}</math> חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל <math>\int\limits_1^4 f\ge\int\limits_1^4\sqrt2\mathrm dx=\left[\sqrt2x\right]_{x=1}^4=\sqrt2\cdot4-\sqrt2=3\sqrt2</math>. התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: <math>1+x^2>x^2\implies\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|</math>, לכן <math>\int\limits_1^4 f>\int\limits_1^4|x|\mathrm dx=\int\limits_1^4 x\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^4=7.5</math>. {{משל}} ==דוגמה 6===

====פתרון====

נמצא מינימום ומקסימום. נסמן <math>f(x)=e^{x^2-x}</math> ואז <math>f'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}</math> ולכן נקודה החשודה כקיצון היא <math>x=\frac12</math>. : <math>f''(x)>0</math> ולכן ולפיכך היא מינימום. לפי וירשרס וירשטרס נחפש גם בקצוות. : <math>f(2)=e^{4-2}=e^2</math> (מקסימום) וכן <math>f(0)=e^0=1</math>. לכן <math>e^{-\frac14}\le f(x)\le e^2</math>. לפיכך <math>e^{-\frac14}\int\limits_0^2\mathrm dx\le \int\limits_0^2 f(x)\mathrm dx\le e^2\int\limits_0^2\mathrm dx</math>ונקבל בדיוק את מה שרשום.{{משל}}