שינויים

 נתון [[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (1עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]]נתון הגרף של y=x². נחשב ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים). ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע בקטע <math>[0,1]</math>.נחלק את הקטע:

(באופן כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>).

מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}

כמו כן, מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> . ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+-1)n(2n+-1)}{6n^3}</math>}}

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+-1)(2n+-1)}{6n^32}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^32}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל

נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנגלגראנג' יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}}

'''הגדרהאינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.

<ol><li>גרף (3)[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי. רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^b f</math>.png|ימין|ממוזער|350px]]# יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציורבגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובההשטח של החלק הירוק, <math>=\Delta x</math> = בסיס הארובההחלק הירוק, לכן לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובההחלק הירוק. לכן <math>A'(x)</math> = הוא הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =, כלומר <math>f(x)</math>. {{משל}}</li><li># נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}</li></ol>