שינויים
/* דוגמאות */
נבחר, אפוא, <math>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}</math> כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}</math> ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.
<font size=4 color=#a7adcd>
זה שקול ל- <math>1-\epsilon<\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>
כיוון ש <math>n\geq 1</math> הצד השמאלי טריוויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{n}<1+\epsilon</math>
כלומר, אנו רוצים שיתקיים <math>n<(1+\epsilon)^n</math>
נביט בביטוי <math>(1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon)</math>. נזכר בשיעור [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 9|קומבינטוריקה]] ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא <math>\frac{n(n+1)}{2}</math>. בסה"כ אנו מקבלים:
::<math>(1+\epsilon)^n=\frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2+K</math>
(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)
אם כך, <math>\frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math>. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים <math>n<\frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2<(1+\epsilon)^n</math> נסיים את התרגיל.
::<math>n<\frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2</math>
::<math>1<\frac{n+1}{2}\epsilon^2</math>
::<math>n+1>\frac{2}{\epsilon^2}</math>
::<math>n>\frac{2}{\epsilon^2}-1</math>
וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.
==שלילת גבול==
