שינויים
/* אי שוויון הממוצעים */
תהי <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
'''הוכחה'''
נגדיר סדרה <math>\{b_m\}^{\infty}_{n=1}</math> על ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על פי הטענה הקודמת מתקיים:
<math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{b_1b_2...b_n}=lim_{n\rightarrow \infty} b_n=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
ברור כי
<math>b_1b_2...b_n=\frac{a_1}{1} \frac{a_2}{a_1}...\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>
ולכן קיבלנו כי <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
==שלילת גבול==
