שינויים
/* חוק הסנדביץ' */
</math>
==אי שוויון הממוצעים==
כלי חשוב לפתרון תרגילים רבים הנו אי שוויון הממוצעים (אותו לא נוכיח בשלב זה):
לכל <math>n</math> מספרים ממשיים חיוביים <math>x_1,...,x_n</math> מתקיים:
<math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}\leq \sqrt[n]{x_1x_2....x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math>
הביטוי מימין נקרא "ממוצע חשבוני", הביטוי האמצעי נקרא "ממוצע הנדסי" והביטוי השמאלי נקרא "ממוצע הרמוני".
'''טענה''' - אתם מוזמנים לנסות להוכיח אותה לבד!
אם <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> היא סדרת מספרים חיוביים המתכנסת לגבול <math>L</math> אזי מתקיים:
<math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}=L</math>.
'''משפט'''
תהי <math>\{a_n\}^\infty_{n=1}</math> סדרת מספרים חיוביים. אם קיים הגבול <math>lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math> אזי הסדרה <math>\{\sqrt[n]{a_n} \}^\infty_{n=1}</math> מתכנסת ומתקיים השוויון: <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
'''הוכחה'''
נגדיר סדרה <math>\{b_m\}^{\infty}_{n=1}</math> על ידי <math>b_1=a_1</math> ו- <math>b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}</math> לכל <math>n>1</math>. זוהי סדרה של מספרים חיוביים ולכן על פי הטענה הקודמת מתקיים:
<math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{b_1b_2...b_n}=lim_{n\rightarrow \infty} b_n=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}</math>.
ברור כי
<math>b_1b_2...b_n=\frac{a_1}{1} \frac{a_2}{a_1}...\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_n</math>
ולכן קיבלנו כי <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}</math>. מש"ל.
כעת נוכיח בדרך אחרת כי <math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1</math>.
'''הוכחה'''
אם נרשום <math>a_n=n</math> אזי לפי המשפט הקודם מתקיים:
<math>lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.
==חוק הסנדביץ'==
