שינויים
/* גבול עליון וגבול תחתון */
באופן דומה, '''הגבול התחתון''' הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
'''העשרה:''' סדרה הינה פונקציה <math>a_n=a(n)</math> מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם <math>a\subseteq\mathbb{N}\times A</math>. אם כך, אנו מגדירים
<math>b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] </math>
<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמאות.'''
</font>
*נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>. נבנה את סדרת החסמים <math>b_i</math>:
::<math>b_1=\sup\{-1,1\}=1</math>
::<math>b_2=\sup\{-1,1\}=1</math>
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול העליון הינו
::<math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1</math>
נביט כעת בסדרת החסמים <math>c_i</math>:
::<math>c_1=\inf\{-1,1\}=-1</math>
::<math>c_2=\inf\{-1,1\}=-1</math>
::::<math>\vdots</math>
ולכן הגבול התחתון הינו
::<math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1</math>
*נביט בסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.
::<math>b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1</math>
::<math>b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2}</math>
::<math>b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3}</math>
:::<math>\vdots</math>
::<math>b_i=\frac{1}{i}</math>
ולכן הגבול העליון הינו <math>\lim b_i=0</math>
::<math>c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
::<math>c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
::<math>c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0</math>
:::<math>\vdots</math>
::<math>c_i=0</math>
ולכן הגבול התחתון הינו <math>\lim c_i = 0</math>
==הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות==
