שינויים
/* הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות */
3. <math>\liminf a_n \leq \liminf b_n</math>
'''פתרון.'''
1. הוכחה:
* לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון <math>a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n</math>
* לפי הנתון <math>a_{n_k}\leq b_{n_k}</math>
* לתת הסדרה <math>b_{n_k}</math> קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון <math>b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k}</math>
* כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן <math>a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n</math>
* מכיוון ש <math>b_{n_{k_j}}</math> תת סדרה של <math>b_n</math> אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של <math>b_n</math>.
** כלומר, <math>\limsup b_{n_k}</math> הינו גבול חלקי של <math>b_n</math>.
* הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים <math>\limsup b_{n_k}\leq\limsup b_n</math>
* כמו כן, כיוון ש <math>a_{n_{k_j}}\leq b_{n_{k_j}}</math>, הגבולות מקיימים את אותו היחס:
<math>\limsup a_n \leq \limsup b_{n_k}</math>
ביחד אנו מקבלים <math>\limsup a_n \leq \limsup b_n</math>
