שינויים
ה'''סדנא בחשיבה מתמטית''' מציגה את עקרונות היסוד של הלוגיקה המתמטית, לרבות דיון בעקרונות מתמטיים מרכזיים כמו ושניים מהרעיונות המרכזיים במתמטיקה - הגדרה והוכחה. החומר נועד לקריאה עצמית. קיראו אותו לאט, והשתדלו להבין כל פסקה ולפתור את התרגילים. אם אינכם מבינים משהו, נסו בכל זאת לדלג ולחזור אליו מאוחר יותר. הפרקים הראשונים (הצרנה, טבלאות אמת, קשרים, תחשיב הפרדיקטים) מעט טכניים. אל תוותרו בגללם על הפרקים האחרונים - כמתים, הגדרות והוכחות, שבשבילם נכתבה כל הסדנא.
אם יש לכם שאלות, הצעות, השגות והערות אחרות, אתם מוזמנים לכתוב אותם בדף השיחה.
=== אטומים ופסוקים ===
יחידת התוכן הבסיסית בכל שפה היא המשפט. במתמטיקה קיבלה המלה "משפט" משמעות מיוחדת (טענה חד-משמעית אמיתית, שיש לה הוכחה), וכאן אבל כאן נרצה לטפל בטענות אמיתיות ושקריות באותם כלים. משום כך, אנו מייחדים ליחידת התוכן הבסיסית את המלה '''פסוק''' - בתחילת הדרך הפסוק יתייחס ליחידת תוכן בשפה העברית (היינו, משפט), ובהמשך ניתן למלה הזו משמעות קצת יותר טכנית ומדוייקת. כדוגמא, אפשר לחשוב על הפסוק "החלון הזה מרובע, והכדור הזה עגול אבל לא מנופח". הפסוק מורכב בדרך כלל מכמה '''אטומים''' - במקרה הזה, האטומים הם "החלון מרובע", "הכדור עגול", ו"הכדור אינו מנופח".
=== הצרנת פסוקים ===
===הוכחה בדרך השלילה===
הוכחה בדרך השלילה נבנית על הטאוטולוגיה הפשוטה <math>A \equiv (\neg A \rightarrow F)</math>. לכן, כאשר אנו מעוניינים להוכיח בדרך השלילה, אנו מניחים את השלילה של הטענה שלנו וגוזרים ממנה סתירה.
בדוגמא הזו לא *הוכחנו* שקיים m שלם המקיים את התנאי: הסתפקנו בהצהרה שהוא קיים, ו"בחרנו" אותו. זו אינה הוכחה. הבחירה צריכה להיות מפורשת, על-מנת שכל קורא (וכל בודק מבחנים) יוכל להשתכנע שאותו m אכן קיים.
נזכיר שהספריה L מוצלחת אם יש בה אגף S כך שלכל נושא t יש באגף מדף s, כך שכל ספר x ב-s עוסק בנושא t; הגדרה זו כוללת ארבעה כמתים - ובמתמטיקה יש לא מעט מושגים יסודיים שהגדרתם היא ברמת המורכבות הזו לפחות. כדי להוכיח שספריה נתונה היא מומלחתמוצלחת, עלינו להצביע על האגף המוצלח; לתת ליריב לבחור נושא; לבחור את המדף, ולהראות שכל ספר על המדף הזה אכן עוסק בנושא הדרוש.
'''תרגיל'''. תאר את מהלך המשחק המוכיח שספריה מסויימת אינה מוצלחת.
* כידוע, שני דברים השווים לדבר שלישי שווים ביניהם (בשפה המתמטית, זוהי "תכונת הטרנזיטיביות של יחס השוויון"). הפרך את הטענה הבאה: (כל) שני דברים השונים מדבר שלישי, שונים זה מזה.
'''הוכח או הפרך''': שאלה כמו "הוכח או הפרך - אם p ראשוני אז הוא אי-זוגי" שואלת למעשה "נכון לא נכון - אם p ראשוני אז הוא אי-זוגי", וגם רומזת מה יש לעשות בשני המקרים: אם הטענה נכונה, יש לספק לה הוכחה, ואם היא לא נכונה, יש להפריך אותה, כמעט תמיד באמצעות דוגמא נגדית ("טענה זו אינה נכונה משום ש-p=2 הוא ראשוני אבל אינו אי-זוגי"). פעמים רבות הטענה היא מהצורה "לכל a, מתקיים <math>\ Q(a)</math>". דוגמא שבה הטענה מתקיימת אינה יכולה לבוא במקום הוכחה, משום שהטענה היא ש-<math>\ Q(a)</math> '''לכל a''' ולא רק עבור a נחמדים במיוחד; מצד שני, כדי להפריך טענה כזו, אין שום צורך להראות שהיא נכשלת לכל a; מספיק למצוא a מסויים שעבורו היא נכשלת. אין צורך לומר שאם <math>\ Q(a)</math> נכונה לפעמים ושגויה לפעמים, אז הטענה "לכל a מתקיים <math>\ Q(a)</math>" שגויה (ולא "שגויה לפעמים!").
=== שגיאות נפוצות ===
* הפעלת תנאי מספיק כאילו היה הכרחי: אם הוא יודע אלגברה לינארית, סימן שהוא חכם. הוא אינו יודע אלגברה לינארית, ומכאן שאינו חכם.
* רוצים להוכיח שכל הסוסים שחורים. רוזיננטה הוא סוס. הבה נוכיח שהוא שחור.
* קריאה סלקטיבית: כשהפסוק הלוגי נעשה ארוך ומסובך (אם לכל x קיים y כך ש..., אז ...), יש נטיה לשלוף קטע ממנו ולהתייחס אליו בלבד. זיכרו שמספריים אינם אופרטור חוקי בלוגיקה.
