שינויים
/* רציפות במידה שווה */
</font>
נבחן את הפונקציה <math>f(x)=x</math> , ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים. אכן, לכל אפסילון, ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי <math>|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon</math>
בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.
ראשית, נביט ב <math>f(x)=x^2</math> על הקטע הסופי <math>(a,b)</math>. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:
::<math>|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)</math>
כעת, אם ניקח <math>\delta = \frac{\epsilon}{2max(|a|,|b|)}</math> נקבל את הדרוש.
עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.
ניקח <math>\epsilon=1</math>. צריך להוכיח כי לכל <math>\delta>0</math> קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים <math>|x_1-x_2|<\delta</math> וגם <math>|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1</math>.
ניקח <math>x_2=x_1+\frac{\delta}{2}</math> ונראה כי אם נבחר את <math>x_1</math> להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי <math>|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta</math>
