שינויים

אם <math>f </math> רציפה במ"ש על הקטעים <math>(a,b],[b,c)</math> (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד <math>(a,c)</math> '''הוכחה.''' יהי <math>\epsilon>0</math>.  <math>f</math> רציפה במ"ש ב <math>(a,b]</math> ולכן קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>x,y\in(a,b]</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_1</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}</math>. <math>f</math> רציפה במ"ש ב <math>[b,c]</math> ולכן קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>x,y\in[b,c]</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta_2</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}</math>. יהי <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math>. אזי <math>\delta>0</math>. נראה שלכל <math>x,y\in(a,c)</math> המקיימים <math>|x-y|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>.נניח <math>x,y\in(a,c)</math> כך ש <math>|x-y|<\delta</math>. יתכנו שלושה מצבים: א) <math>x,y\in(a,b]</math>. אזי <math>|x-y|<\delta\leq \delta_1</math> ומכאן <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>. ב) <math>x,y\in [b,c)</math> ומכיון ש <math>|x-y|<\delta\leq \delta_2</math> נסיק ש <math>|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>. ג) אחת מהנקודות ב <math>(a,b]</math> והשניה ב <math>[b,c)</math>. נניח בה"כ ש <math>x\in(a,b]</math> ו <math>y\in[b,c)</math>. מכאן <math>|x-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_1</math> וכן <math>|y-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_2</math>. מכאן <math>|f(x)-f(b)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math > וכמו כן <math>|f(b)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon</math>. כעת ניעזר באי שוויון המשולש כדי לקבל <math>|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)| <\epsilon</math>