שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]([http://uexams.csmath.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a6025793d.pdf המבחן])
==חלק א'==
1) התשובה היא ב'.
2) התשובה היא ב'.
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\varepsilon</math> אז <math>\dfrac1{|a_n|}>\dfrac1{\varepsilon}</math> .)
פורמלית: יהי <math>\varepsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\dfrac1{\varepsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N:|a_n|<\dfrac1{\varepsilon}</math> , כלומר כך ש- <math>\dfrac1{|a_n|}>\varepsilon</math> . <math>\blacksquare</math>
3) ד'. <math>\infty</math> או 0 נקודות. שתי דוגמאות:
<math>a_n=n,a_n=1+\dfrac1n</math> . באחת יש אינסוף נקודות
(סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math> , כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה.
הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases}</math>
<math>f,g</math> אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> .
הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f'(xx_1)=\frac{f(1+xcosxx_2)'(x+2)-(1+xcosx)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{(cosx-xsinx)(x+2)-(1+xcosx)}{(x+2)^2}\frac{=</math> .
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.;הוכחה<math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math> . מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\fracfrac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ-0(זה לא נימוק לגמרי פורמלי). ==חלק ב'==7) <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2sin02}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2cos02)-0sin0\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(0x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{4(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align}</math>
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' במשוואת ישר עם הנקודה <math>\left(0,\frac{1}{2}tfrac12\right)</math>, ונקבל:<math>y=\fracdfrac14x+\dfrac12</math> 8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math> . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה: <math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\fracfrac1{12n}-\frac1n=\frac2{42n}x-\frac1n=0</math>ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת. 9) <s>הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר <math>n\to\infty</math> אלא שואפת לאינסוף.</s>(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n</math> .
<math>8\left(\frac{n}{n+2}\right) היה במערכי התרגול [[http://math^n=8\left(1-wiki.com/index.php?title\frac2{n+2}\right)^n=888\left(1-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2}</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
קיבלנו גורם 8, גורם <math>a_(e^{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+)^2}-\frac{</math> , וגורם 1}{n}\leq . לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=\fracdfrac8{e^2}{2n}-\frac{>1}{n}=0</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדתהטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע עיתרה מכך, עפ"י 0 המשפט שהוכחנו (כי סכום חיוביים הוא חיובימשפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין). לכן הסדרה מתכנסתנובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
==חלק ג'==
10)
;הפרכה
ניקח <math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)}</math> .
(נגדיר <math>8(\frac{n}{n+2})^nb_1=8(1-\frac{2}{n+2})^n=8(1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8((1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{\frac{(n+2)}{2}})^2\cdot (1-\frac{1}{\frac{n+2}{2}})^{-2}0</math>בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[-1,1]:h(x)=f(x)-x^2</math> . כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> :
באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math>ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים יש ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0-1,10)</math>. כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן)
;הוכחה
כיון ש- <math>\sin(2\cdot0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת
<math>f</math>).
לכן <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת <math>x=0</math> ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I:h(x)=f(x)-x</math> .
12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math>