שינויים
/* שאלה 2 */
ולכן הסדרה '''מונוטונית''' יורדת ו'''חסומה''' מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.
==שאלה 6==
תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)</math> קיים וגדול מאפס.
הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.
===פתרון===
*נסמן <math>\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=L>0</math>. לכן קיים M כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math>.
*לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
*נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.
*לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>|f(x)-K|<\frac{k}{2}</math>
*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|< K</math>
*ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש-
::<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math>, אבל מצד שני <math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{K}{h}</math> ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.
