שינויים
/* הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות */
::<math>-\limsup (-a_n)\leq -\limsup (-b_n)</math>
::<math>\liminf (-a_n)\leq \liminf (-b_n)</math>
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
תהי <math>a_n</math> סדרה חסומה המקיימת
::<math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math>
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של <math>a_n</math> שווה ל- <math>\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>
'''הוכחה.'''
*נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n</math> ב-A.
*כיוון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים <math>\limsup a_n,\liminf a_n \in A</math>
*כיוון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם <math>x\in A</math> אזי בהכרח <math>x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big]</math>.
*נניח בשלילה כי קיימת נקודה <math>c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big)</math> ש'''אינה''' גבול חלקי של הסדרה
*אזי קיימת סביבת אפסילון של c, '''המוכלת ממש בקטע''', בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה
*נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.
*כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ <math>c-\epsilon</math> וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ<math>c+\epsilon</math>
*כיוון שנתון <math>\lim|a_{n+1}-a_n|=0</math> קיים <math>n_{2\epsilon}</math> כך שלכל <math>n>n_{2\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_{n+1}-a_n|<2\epsilon</math>
*ניקח שני איברים <math>a_m,a_{m+k}</math> האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי <math>m>n_{2\epsilon}</math> (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)
*נוציא מבין <math>a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k}</math> זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל
*המרחק בין הזוג העוקב הזה גדול מ-<math>2\epsilon</math> בסתירה.
