שינויים
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
תהי <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>a</math>.
א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>|L|\leq 1</math>.
'''פתרון.'''
אם <math>\lim_{n\to\infty}x_n\neq 0</math> נקבל
<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.
אחרת, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=0</math>.
מאי שוויון המשולש נקבל <math>\left |\left |\frac{x_{n+1}}{x_n}\right |-|L|\right |\leq \left |\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\right |<\epsilon,~\forall n>N_\epsilon</math>.
נובע כי <math>|x_{n+1}|>(|L|-\epsilon)|x_n|,~\forall n>N_\epsilon</math>.
נניח כעת, בשלילה, כי <math>|L|>1</math>, ניקח <math>\epsilon = |L|-1</math> ונקבל כי <math>|x_{n+1}|>|x_n|,~\forall n>N_\epsilon</math>
בסתירה לכך ש <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}|x_n|=0</math>.
(הערה: ניתן להשתמש בתוצאה זו כדי להראות כי הסדרה <math>\{x_n\}=\{q^n\}</math> מתכנסת לאפס עבור <math>|q|<1</math>.)
ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה
<math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.
'''פתרון.'''
נתבונן בסדרה
<math>x_n=\left \{
\begin{array}{cl}
1/n & n~ {\rm odd}\\
0 & n~{\rm even}\\
\end{array}\right.
</math>
ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x_n=0</math> ו <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.
==חוק הסנדביץ'==
