שינויים
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.
=== מערכות ייחוס ===
בפרק זה נתונות שתי מערכות, <math>S,S'</math>, כך שאם <math>A</math> גודל דינמי ב־<math>S</math> אז הוא יסומן כ־<math>A'</math> ב־<math>S'</math>.
* '''מערכת אינרציאלית:''' מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
* כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
* '''טרנספורמציות גליליי:''' טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>S'</math> מתקבלת מ־<math>S</math> ע״י טרנספורמציית גליליי אז <math>S'</math> אינרציאלית.
** {{הערה|מקרים פרטיים:}} <math>\vec r=\vec r\,'+\vec r_0</math>; <math>\dot\vec r=\dot\vec r\,'+\vec v_0</math>; <math>\vec r=\mathbf R\vec r\,'</math> כאשר <math>\mathbf R</math> היא מטריצת סיבוב קבועה; <math>\vec r=-\vec r\,'</math>; <math>t=t'+t_0</math>; <math>t=-t'</math>. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
* '''מערכת מואצת:''' <math>\ddot\vec r=\ddot\vec r\,'+\vec a_0</math>. אם <math>S</math> אינרציאלית ו־<math>\vec a_0\ne\vec0</math> אז <math>S'</math> אינה אינרציאלית, כי <math>\vec F\,'=\vec F-m\vec a_0</math>. אם נדמיין שפועל ''כוח מדומה'' <math>-m\vec a_0</math> על הגוף ב־<math>S'</math> אז נקבל מערכת <math>S''</math> שאינרציאלית אם <math>S</math> אינרציאלית.
* '''מערכת מסתובבת:''' <math>\vec r=\mathbf R(\omega t)\vec r\,'</math> כש־<math>\mathbf R(\omega t)</math> היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית <math>\omega t</math>. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־<math>z</math> ו־<math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: ''הכוח הצנטריפוגלי'' <math>-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r\,')</math> ו''כוח קוריוליס'' <math>-2m\vec\omega\times\vec v\,'</math>.
== מכניקה אנליטית ==
* '''האלגברה של חבורות לי:''' תהי <math>\mathcal G</math> חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math>. איבר היחידה הוא <math>R_i(0)</math> ונגדיר <math>G_i:=\left.\frac{\mathrm dR_i(\alpha)}{\mathrm d\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>. אם <math>\mathcal G\subset\mathbb R^{m\times m}</math> אז <math>G_i</math> היא הנגזרת רכיב־רכיב של <math>R_i</math>, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של <math>\mathcal G</math>" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות <math>G_i</math> נקראת האלגברה של <math>\mathcal G</math>. אם <math>a,b\in\mathbb R</math> אז <math>aG_i+bG_j</math> שייכת לאלגברה.
* '''מפה אקספוננציאלית:''' בכל משפחה חד־פרמטרית <math>R_i[\mathbb R]</math> כל איבר <math>R_i(\alpha)</math> שווה ל־<math>\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n</math> לכל <math>n</math>. כמו כן, <math>R_i(\alpha)=\lim_{n\to\infty}\left(R_i\!\left(\frac\alpha n\right)\right)^n=\exp(\alpha G_i)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha G_i)^n}{n!}</math>.
* '''סוגרי לימשפט נתר:''' נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר <math>[G_is\in\mathbb R</math> כלשהו,G_j]כאשר <math>\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm ds}=G_i0</math>. אזי <math>\cdot G_jsum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\sum_i p_i\frac{\mathrm dq_i}{\mathrm ds}\equiv\text{const.}</math>.** {{הערה|הכללה:}} נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־<math>\vec\varepsilon</math> עבור טרנספורמציה <math>t\mapsto t+\sum_r\varepsilon_r T_r\ \and\ q_i\mapsto q_i+\sum_r\varepsilon_r Q_{ir}</math>, כאשר <math>\varepsilon_r</math> משתנים בלתי תלויים ו־<math>T_r,Q_{ir}</math> פונקציות של <math>\vec q,\dot\vec q,t</math>. אזי <math>\forall r:\ \left(\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}\dot q_i-G_j\cdot G_imathcal L\right)T_r-\sum_i\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}Q_{ir}\equiv\text{const.}</math>. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של <math>\varepsilon_r</math>כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
== דוגמאות חשובות ==
