שינויים
/* פיזיקה */
* <math>|k\rangle</math> היא הפונקציה <math>x\mapsto\mathrm e^{\mathrm ikx}/\sqrt{2\pi}</math>.
* אם <math>\psi</math> פונקציה עצמית של <math>p_x</math> עם ע״ע <math>\lambda</math> אז <math>|\psi\rangle=|k\rangle</math> כאשר <math>k=\lambda/\hbar</math>.
* צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־<math>x</math> היא <math>f_{p_x}(p_0)=\left|\frac1\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\exp\!\left(-\mathrm i\frac{p_0}\hbar x\right)\psi(x)\mathrm dx\right|^2=\left|\left\langle \left.\frac{p_0}\hbar\right|\psi\right\rangle\right|^2</math>. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של <math>\psi</math>.
* מתקיים <math>[x,p_x]=\mathrm i\hbar</math>.
* מתקיים <math>[x,p_y]=\mathbf O</math>.
* '''תנע זוויתי:''' בפיזיקה הקלאסית <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא <math>L_x=yp_z-zp_y\ \and\ L_y=zp_x-xp_z\ \and\ L_z=xp_y-yp_x</math>, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר <math>r_i,p_i</math> אופרטורי המיקום והתנע.
*אם <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה אז <math>\exp\!\left(\mathrm i\theta\hat\mathbf n\cdot\vec L\right)=\exp(\mathrm i\theta(\hat n_xL_x+\hat n_yL_y+\hat n_zL_z))</math> הוא סיבוב בזווית <math>\theta</math> סביב הציר <math>\hat\mathbf n</math>. לכן <math>L_x,L_y,L_z</math> הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים, <math>\mbox{SO}(3)</math>.
* <math>[L_x,L_y]=\mathrm iL_z\ \and\ [L_y,L_z]=\mathrm iL_x\ \and\ [L_z,L_x]=\mathrm iL_y</math>.
* '''הצגה''' של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה <math>G</math> שהן פונקציות <math>\varphi:G\to\mathbb C^{n\times n}</math> הפיכות המקיימות <math>\forall g_1,g_2\in G:\ \varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)</math>. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי <math>A</math> היא <math>\varphi:A\to\mathbb C^{n\times n}</math> המקיימת <math>\forall a_1,a_2\in A:\ \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)\ \and\ \varphi([a_1,a_2])=[\varphi(a_1),\varphi(a_2)]</math>.
* '''הצגה פריקה:''' הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה <math>\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf O\\\mathbf O&\mathbf B\end{pmatrix}</math>.
* <math>[L_i,L^2]=\mathbf O</math> לכל <math>i\in\{x,y,z\}</math>. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של <math>L_z,L^2</math>, ונסמנם <math>|l,m\rangle</math> כאשר <math>L_z|l,m\rangle=\lambda_m|l,m\rangle</math> ו־<math>L^2|l,m\rangle=\mu_l|l,m\rangle</math>.
* '''משפט הצגות התנע הזוויתי:''' לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י <math>L_x,L_y,L_z</math>. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים <math>L^2|v\rangle=l(l+1)|v\rangle</math> כאשר <math>l=\frac{n-1}2</math>. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו <math>\{|v_m\rangle\}_{m=-l}^l</math> כאשר <math>L_z|v_m\rangle=m|v_m\rangle</math>.
* '''אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:''' <math>L_+:=L_x+\mathrm iL_y</math> ו־<math>L_iL_-:=L_x-\mathrm iL_y</math>.
* <math>[L_+,L^2]=[L_-,L^2]=\mathbf O</math>.
