שינויים
/* הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות */
</font>
::<math>\liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>
'''הוכחה.'''
*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>a_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>
*תת הסדרה המקבילה <math>a_{n_k}</math> אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>
*ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן <math>\liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}}</math>
*כמו כן, כיוון שהסדרה <math>b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר <math>\lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n</math>
*ביחד מקבלים כי <math>\liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}</math>
