שינויים
/* הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות */
'''הוכחה.'''
הצד הימני של אי השיוויון:
*קיימת לסדרה <math>a_n+b_n</math> תת סדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> המתכנסת לגבול החלקי העליון <math>\lim a_{n_k}+b_{b_k} = \limsup a_n+b_n</math>
*(שימו לב שתת הסדרה <math>a_{n_k}</math> לא בהכרח מתכנסת.)
*תת הסדרה <math>a_{n_k}</math> חסומה, ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת <math>a_{n_{k_j}}</math>.
*כיוון שתת הסדרה <math>a_{n_k}+b_{n_k}</math> מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. לכן <math>\lim a_{n_{k_j}} + b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n</math>
*ביחד, אנו מקבלים כי <math>\lim b_{n_{k_j}} = \limsup a_n+b_n - \lim a_{n_{k_j}}</math> (אריתמטיקה של גבולות של סדרות מתכנסות).
*כלומר, הראנו כי תת הסדרה <math>b_{n_{k_j}}</math> מתכנס.
*ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול העליון, ולכן <math>\lim b_{n_{k_j}} \leq \limsup b_n</math> וכמו כן <math>\lim a_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n</math>
*ביחד מקבלים <math>\limsup a_n+b_n=\lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_n + \limsup b_n</math>, כפי שרצינו.
הצד השמאלי של אי השיוויון:
*קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> השואפת לגבול העליון של הסדרה <math>a_n</math>, כלומר <math>\lim b_{n_k}=\limsup b_n</math>
