שינויים
\begin{proof}
$\boxed{\Leftarrow}$
תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . \\יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ \\כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\epsilon varepsilon $. נחזור לסדרה: $$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ $ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\epsilon varepsilon $.
$\boxed{\Rightarrow}$
נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושילמרות שהוא גבול לפי היינה. אזי $$\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|<\geq \varepsilon $ . $זה נכון \textbf{לכל } דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $$ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|<\geq \varepsilon $ $ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $
\end{proof}
