שינויים
יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1 (30 נק)== ===סעיף א=== תהיינה שתי סדרות <math>a_n,b_n</math> כך ש: ::1. <math>\lim a_n-b_n=0</math> ::2. <math>\lim a_n^2+..."
==שאלה 1 (30 נק)==
===סעיף א===
תהיינה שתי סדרות <math>a_n,b_n</math> כך ש:
::1. <math>\lim a_n-b_n=0</math>
::2. <math>\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}</math>
'''הוכיחו/הפריכו:'''
::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math>
===סעיף ב===
תהי סדרה <math>a_n</math> וקבוע <math>0<q<1</math> כך ש
::<math>\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|</math>
הוכיחו כי <math>a_n</math> מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''')
==שאלה 2 (40 נק)==
===סעיף א===
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
::1. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}</math>
::2. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}</math>
===סעיף ב===
נניח <math>\lim a_n-b_n=0</math>.
::'''הוכיחו/הפריכו:''' <math>\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n</math>
==שאלה 3 (30 נק)==
===סעיף א===
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
::<math>a_1=1</math>
::<math>a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}</math>
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
===סעיף ב===
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math>
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math>
===סעיף א===
תהיינה שתי סדרות <math>a_n,b_n</math> כך ש:
::1. <math>\lim a_n-b_n=0</math>
::2. <math>\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}</math>
'''הוכיחו/הפריכו:'''
::<math>\lim a_n^2-b_n^2= 0</math>
===סעיף ב===
תהי סדרה <math>a_n</math> וקבוע <math>0<q<1</math> כך ש
::<math>\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|</math>
הוכיחו כי <math>a_n</math> מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו '''קושי''')
==שאלה 2 (40 נק)==
===סעיף א===
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
::1. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}</math>
::2. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}</math>
===סעיף ב===
נניח <math>\lim a_n-b_n=0</math>.
::'''הוכיחו/הפריכו:''' <math>\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n</math>
==שאלה 3 (30 נק)==
===סעיף א===
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
::<math>a_1=1</math>
::<math>a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}</math>
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
===סעיף ב===
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים
::<math>\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)</math>
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}</math>
