שינויים

דירוג בהנתן מטריצה שקול לכפל במטריצות A הפיכה ניתן לעבור מ A ל- I ע"י פעולות שורה אלמנטריות המתאימות לפעולות הדירוג. לכן, אם דירגנו מטריצה ריבועית לצורת מטריצה היחידה קיבלנו כלומר <math>\rho_1(I)E_{k}\cdotsE_2 E_{1}\rho_k(I)cdot A=I </math> ולפיכך מתקיים שהמטריצה A הפיכה וההופכית שלה הינה כאשר <math>\rho_1(I)\cdots\rho_k(I)E_i</math>היא המטריצה האלמנטרית שמתאימה לפעולה האלמנטרית שביצענו במהלך הדירוג.

אם נדרג קנונית את מטריצת הבלוקים מכאן רואים בקלות כי <math>(A|I)^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}</math> נקבל מטריצה מהצורה  כיוון ש <math>(I|E_{k}\rho_1(I)cdots E_2 E_{1}=E_{k}\cdotsE_2 E_{1}\rho_k(cdot I))</math> אז ההופכית מתקבלת מהכפלת המטריצות האלמנטריות ב I (שכן לפי כפל מטריצת בלוקים, כפל במטריצה האלמנטרית מופעל במקביל או באופן שיקול ביצוע הפעולות האלמנטריות על כל אחד מהבלוקיםI).  לכן כאשר אנחנו מדרגים את אם נסתכל על המטריצה <math>(A|I)</math> עד שנקבל את מטריצת היחידה משמאל, מימין ונדרג אותה נקבל את המטריצה ההופכית לאחר הדירוג <math>(I|A^{-1})</math>פעולות הדירוג מתבצעות סימולטנית גם על A וגם על I.ברגע שהגענו מ A ל I אז במקביל הגענו מ I להופכית של A. דוגמא:נמצא את ההופכית של תהא <math>A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\0 & 0 & 5\end{array}\right)</math> . נעשה פעולות דירוג על <math>(A|I)</math>  \left(\begin{array}{ccc|ccc}0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{2}-R_{3}\rightarrow R_{2}}\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\xrightarrow{R_{1}-2R_{2}\rightarrow R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 2\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)