שינויים
/* תוספת: הצגת מטריצה כמכפלה של אלמנטריות */
ל <math>I</math> מתבצע ע"י 4 פעולות שורה. המטריצות האלמנטריות המתאימות הן
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right)
</math> (החלפת שורות 1 ו -2)
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
</math> (החסרת חצי שורה 3 משורה 2)
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
\end{array}\right)
</math> (החסרת שורה 2 משורה 1)
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
*<math>A^{-1}=E_4E_3E_2E_1</math>
*<math>A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}</math>
====הערות ====
הערות:
1. אם אחרי הדירוג של <math>A</math> לא קיבלנו <math>I</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה.
הוכחה: נסמן ב <math>E</math> את מכפלת המטריצות האלמנטריות שמדרגות את <math>A</math> לצורה קנונית. ברור כי <math>E</math> הפיכה כמכפלה של מטריצות הפיכות. אם <math>A</math> הפיכה אזי גם <math>EA</math> הפיכה. אבל ב <math>EA</math> יש שורת אפסים כי <math>EA\not=I</math> סתירה לתרגיל מתחילת התרגול.
(מסקנה: אחרי דירוג <math>A</math> או שגילינו שהיא לא הפיכה או שמצאנו את ההופכית. ולכן האלגוריתם שראינו מתבצע גם אם לא יודעים מראש ש <math>A</math> הפיכה)
2. בהנתן מטריצה הפיכה <math>A</math> אזי למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד והוא <math>x=A^{-1}b</math>
